Exercices — Primitives et équations différentielles

1. On primitive terme à terme : $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$. Vérification en dérivant : $F'(x) = 3x^2 - 4x + 5$ ✓.

2. $G(x) = -\dfrac{1}{x}$, car $\left(-\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}$ ✓.

3. La primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x}$, donc $H(x) = 3 \times 2\sqrt{x} = 6\sqrt{x}$. Vérification : $H'(x) = \dfrac{6}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3}{\sqrt{x}}$ ✓.

4. $K(x) = 2\sin(x) + \cos(x)$. Vérification : $K'(x) = 2\cos(x) - \sin(x)$ ✓ — les signes s’inversent par rapport à la dérivation : la primitive de $\sin$ est $-\cos$, celle de $\cos$ est $\sin$.

5. Les primitives de $f$ sont les $F(x) + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C$. La condition donne $F(0) + C = 0 + C = 1$, donc $C = 1$ : la primitive cherchée est $x^3 - 2x^2 + 5x + 1$.

Réflexe à retenir : une primitive se vérifie en dérivant — et sans condition initiale, il y en a une infinité, toutes égales à une constante près.

1. On reconnaît la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2 + x$ et $u'(x) = 2x + 1$ : une primitive est $F(x) = e^{x^2 + x}$. Vérification : $F'(x) = (2x + 1)\,e^{x^2 + x}$ ✓.

2. On vise la forme $u'u^n$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$. Il manque un facteur $2$ : $g(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2+1)^3$, donc $G(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x^2+1)^4}{4} = \dfrac{(x^2+1)^4}{8}$. Vérification : $G'(x) = \dfrac{4(x^2+1)^3 \times 2x}{8} = x(x^2+1)^3$ ✓.

3. Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 3 > 0$ pour tout $x$ : une primitive est $H(x) = \ln(x^2 + 3)$. Vérification : $H'(x) = \dfrac{2x}{x^2+3}$ ✓.

4. Les primitives de $f$ sont les $e^{x^2+x} + C$. Or $F_0(0) = e^0 + C = 1 + C = 3$, donc $C = 2$ : $F_0(x) = e^{x^2 + x} + 2$.

Réflexe à retenir : face à une fonction composée, demande-toi « qui est $u$ ? » et cherche $u'$ en facteur — quitte à ajuster une constante multiplicative, comme à la question 2.

1. Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ : ici, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{3x}$, avec $C \in \mathbb{R}$.

2. La condition initiale donne $f(0) = Ce^{0} = C = 2$, donc $f(x) = 2e^{3x}$.

3. $f'(x) = 2 \times 3e^{3x} = 6e^{3x}$ et $3f(x) = 3 \times 2e^{3x} = 6e^{3x}$ : on a bien $f' = 3f$ ✓.

4. $(f + g)' = f' + g' = 3f + 3g = 3(f + g)$ : la somme de deux solutions est encore une solution. (De même, $kf$ est solution pour tout réel $k$ : c’est la « structure » particulière des équations $y' = ay$.)

Réflexe à retenir : les solutions de $y' = ay$ sont les $Ce^{ax}$ — la constante est en facteur — et c’est la condition initiale qui fixe $C$.

1. Pour une fonction constante, $y' = 0$ : l’équation devient $0 = -2y + 4$, d’où $y = 2$. La fonction constante égale à $2$ est solution.

2. Les solutions de $(E)$ sont la solution particulière plus les solutions de l’équation $y' = -2y$ : ce sont les fonctions $x \mapsto Ce^{-2x} + 2$, avec $C \in \mathbb{R}$.

3. $f(0) = Ce^{0} + 2 = C + 2 = 5$, donc $C = 3$ : $f(x) = 3e^{-2x} + 2$.

4. Comme $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Graphiquement, la courbe de $f$ se rapproche de la droite horizontale d’équation $y = 2$ — la solution constante joue le rôle d’équilibre vers lequel toutes les solutions convergent (car ici $a = -2 < 0$).

Réflexe à retenir : pour $y' = ay + b$, cherche d’abord la solution constante $-\dfrac{b}{a}$, puis ajoute les $Ce^{ax}$ — et la condition initiale fixe $C$ en dernier.

1. En développant : $\theta'(t) = -0{,}1\,\theta(t) + 0{,}1 \times 20 = -0{,}1\,\theta(t) + 2$. La fonction $\theta$ vérifie donc bien $y' = -0{,}1y + 2$.

2. Solution constante : $0 = -0{,}1y + 2$ donne $y = 20$. Les solutions sont donc les fonctions $t \mapsto Ce^{-0{,}1t} + 20$, avec $C \in \mathbb{R}$.

3. $\theta(0) = Ce^{0} + 20 = C + 20 = 80$, donc $C = 60$ :

$\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20$

4. $\theta(10) = 60e^{-1} + 20 \approx 60 \times 0{,}368 + 20 \approx 42{,}1$. Au bout de $10$ minutes, le café est à environ $42$ °C.

5. On résout $\theta(t) = 50$ :

$60e^{-0{,}1t} + 20 = 50 \iff e^{-0{,}1t} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \iff -0{,}1t = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \iff t = 10\ln(2)$

Soit $t \approx 6{,}9$ minutes (environ $6$ min $56$ s). Enfin, comme $e^{-0{,}1t} \to 0$ quand $t \to +\infty$, la température tend vers $20$ °C : le café finit à la température de la pièce — la solution d’équilibre, ce qui est physiquement cohérent.

Réflexe à retenir : dans un problème concret, mets l’équation sous la forme $y' = ay + b$, résous (constante d’abord !), utilise la condition initiale… et vérifie la cohérence physique : la limite doit correspondre à l’équilibre du phénomène.