Le calcul intégral

Quelle distance parcourt une voiture dont la vitesse varie sans cesse ? Quelle est l’aire délimitée par une parabole ? Ces deux questions, en apparence sans rapport, ont la même réponse : l’intégrale. Ce chapitre la définit comme une aire sous une courbe, puis révèle le lien décisif avec le chapitre des primitives : intégrer, c’est calculer $F(b) - F(a)$.

L’intégrale, une aire sous la courbe

Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$. L’intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l’aire, en unités d’aire (u.a.), du domaine délimité par la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$. L’unité d’aire est l’aire du rectangle construit sur les unités du repère.

Deux remarques sur la notation : la variable est muette ($\int_a^b f(t)\,dt$ désigne la même intégrale), et l’écriture $\int_a^b f(x)\,dx$ évoque une somme d’aires de rectangles très fins, de hauteur $f(x)$ et de largeur $dx$ — c’est exactement l’idée de la méthode des rectangles.

Le théorème fondamental

Le pont entre aire et primitive : si $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$, la fonction « aire accumulée » $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$. C’est ce théorème (démontré au programme pour $f$ positive croissante) qui prouve au passage que toute fonction continue admet des primitives. Conséquence immédiate, pour n’importe quelle primitive $F$ de $f$ :

Fonctions de signe quelconque : on définit alors l’intégrale par la même formule $F(b) - F(a)$. Graphiquement, les zones situées sous l’axe des abscisses comptent négativement : l’intégrale est une aire algébrique — elle peut être négative !

Les propriétés de l’intégrale

• Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\displaystyle\int_a^b kf = k\int_a^b f$.
• Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ — on découpe le domaine.
• Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a \leq b$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.
• Intégration d’une inégalité : si $f \leq g$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a \leq b$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.

La valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. Graphiquement, c’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe. C’est elle qui donne un sens précis à « vitesse moyenne », « température moyenne » ou « puissance moyenne » quand la grandeur varie continûment.

L’intégration par parties

Quand aucune primitive ne saute aux yeux, on peut échanger un produit contre un autre : si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a\,;\,b]$, de dérivées continues,

$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx$

Exemple : pour $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$, pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$ : l’intégrale vaut $\big[x\,e^x\big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$.

Le bon choix : $u$ est le facteur qui se simplifie en dérivant ($x$, $x^2$, $\ln(x)$…), $v'$ celui qu’on sait primitiver. Cas d’école : $\int \ln(x)\,dx$ se calcule avec $u = \ln(x)$ et $v' = 1$.

L’aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a\,;\,b]$, l’aire du domaine compris entre les deux courbes est $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ en u.a. — « le dessus moins le dessous ». Vérifie toujours la position relative avant d’intégrer ; si les courbes se croisent, découpe l’intervalle avec la relation de Chasles.

Les pièges classiques