Exercices — Le calcul intégral

1. Une primitive de $2x + 1$ est $x^2 + x$ :

$\int_1^3 (2x + 1)\,dx = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$

2. Une primitive de $3x^2 - 4x + 2$ est $x^3 - 2x^2 + 2x$ :

$\int_0^1 (3x^2 - 4x + 2)\,dx = \Big[x^3 - 2x^2 + 2x\Big]_0^1 = (1 - 2 + 2) - 0 = 1$

3. Une primitive de $\dfrac{2}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $2\ln(x)$ :

$\int_1^e \frac{2}{x}\,dx = \Big[2\ln(x)\Big]_1^e = 2\ln(e) - 2\ln(1) = 2 - 0 = 2$

4. $e^x$ est sa propre primitive :

$\int_0^{\ln(2)} e^x\,dx = \Big[e^x\Big]_0^{\ln(2)} = e^{\ln(2)} - e^0 = 2 - 1 = 1$

Réflexe à retenir : toujours les trois mêmes étapes — primitive, crochet, différence — en évaluant d’abord à la borne du haut, et sans oublier la borne du bas (même quand c’est $0$ : ici $e^0 = 1$, pas $0$ !).

1. Pour $0 \leq x \leq 2$, on a $x^2 \leq 4$, donc $f(x) = 4 - x^2 \geq 0$. De plus $f'(x) = -2x \leq 0$ sur $[0\,;\,2]$ : $f$ est décroissante.

2. On découpe $[0\,;\,2]$ en deux intervalles de largeur $1$. Comme $f$ est décroissante, sur chaque morceau l’aire est comprise entre le rectangle « bas » (hauteur = valeur à droite) et le rectangle « haut » (hauteur = valeur à gauche) :

$1 \times f(1) + 1 \times f(2) \leq I \leq 1 \times f(0) + 1 \times f(1)$

soit $3 + 0 \leq I \leq 4 + 3$, c’est-à-dire $3 \leq I \leq 7$.

3. Une primitive de $f$ est $F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3}$ :

$I = \Big[4x - \frac{x^3}{3}\Big]_0^2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33$

— cohérent avec l’encadrement de la question 2 ✓. Comme $f \geq 0$, l’intégrale est l’aire du domaine : $\dfrac{16}{3}$ u.a. Avec une unité de $1$ cm, une unité d’aire vaut $1$ cm², donc l’aire mesure $\dfrac{16}{3} \approx 5{,}3$ cm².

4. $\mu = \dfrac{1}{2 - 0} \times \dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3}$. C’est la hauteur du rectangle de base $[0\,;\,2]$ qui a exactement la même aire que le domaine sous la courbe.

Réflexe à retenir : les rectangles encadrent (fonction monotone !), la primitive donne la valeur exacte — et confronter les deux est un excellent auto-contrôle. La valeur moyenne, c’est l’intégrale divisée par la longueur de l’intervalle.

1. On pose $u(x) = x$ (se simplifie en dérivant) et $v'(x) = e^x$ (facile à primitiver), d’où $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$ :

$I = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

2. On ne connaît pas de primitive de $\ln$… alors on pose $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$, d’où $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = x$ :

$J = \Big[x\ln(x)\Big]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx = e\ln(e) - 1 \times \ln(1) - \int_1^e 1\,dx = e - 0 - (e - 1) = 1$

Réflexe à retenir : choisis $u$ = le facteur qui se simplifie en dérivant ($x$, $\ln$…) et $v'$ = celui que tu sais primitiver — et pour intégrer $\ln$ tout seul, le déclic est de poser $v' = 1$.

1. $f(x) - g(x) = x - x^2 = x(1 - x)$. Sur $[0\,;\,1]$, les deux facteurs sont positifs, donc $f(x) \geq g(x)$ : la droite est au-dessus de la parabole, et les courbes se coupent aux points d’abscisses $0$ et $1$ (là où $x(1-x) = 0$).

2. L’aire est l’intégrale de « le dessus moins le dessous » :

$\int_0^1 \big(x - x^2\big)\,dx = \Big[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\Big]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \text{ u.a.}$

3. Le carré unité a une aire de $1$ u.a. : le domaine en occupe $\dfrac{1}{6}$, soit environ $17\ \%$.

Réflexe à retenir : pour une aire entre deux courbes, étudie d’abord la position relative (le signe de $f - g$), puis intègre $f - g$ dans le bon sens — et si les courbes se croisent en cours de route, découpe avec la relation de Chasles.

1. Pour $x \in [0\,;\,1]$ : $x \geq 0$ et $e^{-x} > 0$, donc $f(x) \geq 0$. De plus $-x \leq 0$ donne $e^{-x} \leq e^0 = 1$ (la fonction exponentielle est croissante), donc $f(x) = x\,e^{-x} \leq x$.

2. On intègre l’encadrement $0 \leq f(x) \leq x$ entre $0$ et $1$ (bornes dans le bon ordre) :

$0 \leq I \leq \int_0^1 x\,dx = \Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^1 = \frac{1}{2}$

3. On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-x}$, d’où $u'(x) = 1$ et $v(x) = -e^{-x}$ :

$I = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx = -e^{-1} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -e^{-1} + \left(1 - e^{-1}\right) = 1 - \frac{2}{e}$

4. $1 - \dfrac{2}{e} \approx 1 - 0{,}736 = 0{,}264$ : on a bien $0 \leq I \leq 0{,}5$ ✓. Comme $f$ est positive sur $[0\,;\,1]$, $I$ est l’aire sous la courbe de $f$, soit environ $0{,}26$ u.a. Enfin, la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $\dfrac{I}{1 - 0} = 1 - \dfrac{2}{e} \approx 0{,}26$.

Réflexe à retenir : une inégalité sur les fonctions s’intègre en inégalité sur les intégrales (bornes dans le bon ordre !) — et confronte toujours ta valeur exacte à l’encadrement obtenu avant : c’est le meilleur détecteur d’erreur de calcul.