Résumé de cours

Proportions et évolutions Mathématiques · 2de · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

Soldes à −30 %, audience en hausse de 12 %, 55 % de filles dans un lycée… Les pourcentages sont partout — mais ils cachent deux usages très différents : exprimer la part d’un groupe dans un ensemble (proportion) ou mesurer un changement entre deux valeurs (évolution). Tout le chapitre tient dans cette distinction.

Proportion : une part d’un tout

La proportion d’une sous-population $A$ dans une population totale est le quotient

$p = \frac{\text{effectif de } A}{\text{effectif total}}$

C’est un nombre entre $0$ et $1$ , souvent exprimé en pourcentage. La relation se lit dans les deux sens : effectif de $A$ = $p \times$ effectif total. Exemple : $240$ élèves de seconde dans un lycée de $800$ élèves → $240 \div 800 = 0{,}30$ , soit une proportion de $30\ \%$ .

Pourcentage de pourcentage

Quand les ensembles de référence sont emboîtés (une partie d’une partie), les proportions se multiplient.

Proportion de proportion (ensembles emboîtés)

$p = p_1 \times p_2$

Si un groupe B représente une proportion p₁ du total et si A représente une proportion p₂ de B, alors A représente p₁ × p₂ du total. Exemple : 30 % des élèves sont en seconde, et 45 % de ces élèves de seconde font espagnol → 0,30 × 0,45 = 0,135, soit 13,5 % du lycée.

Attention : on ne peut jamais additionner des pourcentages qui ne portent pas sur le même ensemble de référence.

Évolution : trois façons de mesurer un changement

Une grandeur passe d’une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$ :

la variation absolue (ou additive) : $V_2 - V_1$ , exprimée dans l’unité de la grandeur ;
le coefficient multiplicateur : $\text{CM} = \dfrac{V_2}{V_1}$ ;
le taux d’évolution (ou variation relative) : $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$ .

Le lien entre taux et coefficient multiplicateur

$\text{CM} = \frac{V_2}{V_1} = 1 + t$

Augmenter de 12 %, c’est multiplier par 1,12 ; diminuer de 30 %, c’est multiplier par 0,70. Dans l’autre sens : t = CM − 1 (un coefficient de 0,85 traduit une baisse de 15 %). Et pour remonter à la valeur initiale : V₁ = V₂ ÷ CM.

Le coefficient multiplicateur, couteau suisse du chapitre

Hausse ou baisse, tout devient une multiplication : coefficient supérieur à 1 pour une hausse, inférieur à 1 pour une baisse. C’est lui qui permet d’enchaîner des évolutions, de revenir en arrière ou de retrouver une valeur initiale — les taux, eux, ne se manipulent pas directement.

Évolutions successives et réciproques

Évolutions successives : le coefficient global est le produit des coefficients. Une hausse de $10\ \%$ suivie d’une hausse de $20\ \%$ : $1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32$ , soit $+32\ \%$ (et non $+30\ \%$ ).
Évolution réciproque : celle qui ramène à la valeur de départ ; son coefficient est l’inverse du coefficient de l’évolution : $\dfrac{1}{\text{CM}}$ . Pour annuler une hausse de $25\ \%$ : $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$ , soit une baisse de $20\ \%$ .

Les pièges classiques

Proportion ou évolution ? Les pourcentages ne s’additionnent pas

« 55 % des élèves sont des filles » compare une partie à un tout : c’est une proportion. « Le loyer a augmenté de 55 % » compare deux valeurs dans le temps : c’est une évolution. Même symbole %, deux calculs différents. Et les taux d’évolution ne s’additionnent jamais : +20 % puis −20 % donne $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ — on ne revient pas au point de départ, on a perdu 4 %.

Exercices corrigés

Exercices — Proportions et évolutions

5 exercices d’application avec corrigés détaillés : proportions et effectifs, pourcentage de pourcentage, taux d’évolution, évolutions successives et réciproques.

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Quiz — Proportions et évolutions

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