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Quiz — Le raisonnement par récurrence

10 questions pour vérifier le cours : principe de la récurrence, initialisation, hérédité, conclusion, inégalité de Bernoulli et suites définies par récurrence.

1. Un raisonnement par récurrence se rédige en trois étapes, dans l'ordre :
2. Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 3, l'initialisation consiste à vérifier :
3. L'hérédité consiste à démontrer que :
4. L'inégalité de Bernoulli affirme que pour tout réel a ≥ 0 et tout entier naturel n :
5. La suite (uₙ) est définie par u₀ = 5 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 3. Alors u₂ vaut :
6. On étudie la suite définie par uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3. Dans l'hérédité, on suppose uₙ ≤ 6 et on en déduit uₙ₊₁ ≤ :
7. L'hérédité de « 4ⁿ + 1 est divisible par 3 » se démontre bien, mais 4⁰ + 1 = 2 n'est pas divisible par 3. Que peut-on conclure ?
8. Par récurrence, on démontre que pour tout entier n ≥ 1, la somme 1 + 2 + … + n vaut :
9. La formulation correcte de l'hypothèse de récurrence est :
10. Avec a = 1, l'inégalité de Bernoulli donne, pour tout entier naturel n :

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