Exercices — Le raisonnement par récurrence

1. $u_1 = 2 \times 2 - 1 = 3$, puis $u_2 = 2 \times 3 - 1 = 5$, et $u_3 = 2 \times 5 - 1 = 9$.

2. Les termes $2$, $3$, $5$, $9$ dépassent chacun de $1$ les puissances de deux $1$, $2$, $4$, $8$ : on conjecture que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n + 1$.

3. Notons $P(n)$ la propriété « $u_n = 2^n + 1$ ».

• Initialisation : $2^0 + 1 = 1 + 1 = 2 = u_0$, donc $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier naturel $n$, c’est-à-dire $u_n = 2^n + 1$. Alors :

$u_{n+1} = 2u_n - 1 = 2\left(2^n + 1\right) - 1 = 2^{n+1} + 2 - 1 = 2^{n+1} + 1$

C’est exactement $P(n+1)$.

• Conclusion : par récurrence, $u_n = 2^n + 1$ pour tout entier naturel $n$.

Réflexe à retenir : la démarche complète tient en trois verbes — calculer les premiers termes, conjecturer une formule, la démontrer par récurrence. Et dans l’hérédité, l’hypothèse de récurrence doit apparaître noir sur blanc dans le calcul.

1. Notons $P(n)$ la propriété « $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ».

• Initialisation ($n = 1$) : à gauche, la somme vaut $1$ ; à droite, $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$. Donc $P(1)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier $n \geq 1$. Alors, en isolant le dernier terme de la somme au rang $n+1$ :

$1 + 2 + \cdots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

C’est la formule au rang $n+1$ : $P(n+1)$ est vraie.

• Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout entier $n \geq 1$.

2. $1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$.

3. On factorise par $2$ : $2 + 4 + \cdots + 2n = 2(1 + 2 + \cdots + n) = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Réflexe à retenir : dans l’hérédité d’une formule de somme, isole le dernier terme pour faire apparaître la somme au rang $n$ (l’hypothèse de récurrence), puis factorise — ici par $n+1$.

1. $u_1 = \dfrac{1}{2} \times 0 + 3 = 3$, puis $u_2 = \dfrac{1}{2} \times 3 + 3 = 4{,}5$.

2. Notons $P(n)$ la propriété « $u_n \leq 6$ ».

• Initialisation : $u_0 = 0 \leq 6$, donc $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $u_n \leq 6$ pour un certain entier naturel $n$. Alors $\dfrac{1}{2}u_n \leq 3$, donc :

$u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \leq 3 + 3 = 6$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

• Conclusion : par récurrence, $u_n \leq 6$ pour tout entier naturel $n$.

3. On étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs :

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 3 - u_n = 3 - \frac{1}{2}u_n = \frac{1}{2}\left(6 - u_n\right)$

D’après la question 2, $u_n \leq 6$, donc $6 - u_n \geq 0$ et $u_{n+1} - u_n \geq 0$ : la suite $(u_n)$ est croissante. (Croissante et majorée par $6$ : au chapitre des limites, tu verras que cela suffit à garantir qu’elle converge.)

Réflexe à retenir : pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$, étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ — et remarque l’enchaînement très classique : la majoration démontrée par récurrence sert immédiatement à établir la monotonie.

Notons $P(n)$ la propriété « $4^n - 1$ est divisible par $3$ », c’est-à-dire : il existe un entier $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$.

• Initialisation : $4^0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 3 \times 0$, donc $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier naturel $n$ : il existe un entier $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$. On transforme $4^{n+1} - 1$ pour faire apparaître $4^n - 1$ :

$4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4\left(4^n - 1\right) + 4 - 1 = 4 \times 3k + 3 = 3(4k + 1)$

Comme $4k + 1$ est un entier, $4^{n+1} - 1$ est divisible par $3$ : $P(n+1)$ est vraie.

• Conclusion : par récurrence, $4^n - 1$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n$.

Réflexe à retenir : dans une hérédité de divisibilité, fais apparaître l’expression du rang $n$ par un jeu d’écriture ($4 \times 4^n - 1 = 4(4^n - 1) + 3$), puis factorise par le diviseur.

1. Soit $a \geq 0$ un réel fixé. Notons $P(n)$ la propriété « $(1+a)^n \geq 1 + na$ ».

• Initialisation : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ ; comme $1 \geq 1$, $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier naturel $n$. Comme $1 + a > 0$, on peut multiplier les deux membres de l’inégalité $(1+a)^n \geq 1 + na$ par $1 + a$ sans en changer le sens :

$(1+a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$

Or $na^2 \geq 0$, donc $1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$. Ainsi $(1+a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a$ : $P(n+1)$ est vraie.

• Conclusion : par récurrence, $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour tout entier naturel $n$.

2. On applique l’inégalité avec $a = 0{,}05 \geq 0$ : comme $1 + 0{,}05 = 1{,}05$, on obtient $1{,}05^n \geq 1 + 0{,}05n$ pour tout entier naturel $n$.

3. Il suffit d’avoir $1 + 0{,}05n \geq 3$, c’est-à-dire $0{,}05n \geq 2$, soit $n \geq 40$. Donc pour tout $n \geq 40$ : $1{,}05^n \geq 1 + 0{,}05n \geq 3$. On peut prendre $n_0 = 40$. (Bernoulli fournit un rang suffisant, pas le plus petit : à la calculatrice, $1{,}05^n$ dépasse $3$ dès $n = 23$.)

4. Comme $1 + 0{,}05n$ devient aussi grand qu’on veut, $1{,}05^n$ finit par dépasser n’importe quel seuil : on conjecture que $1{,}05^n$ tend vers $+\infty$. C’est exactement ce que démontrera le théorème de comparaison au chapitre des limites de suites.

Réflexe à retenir : dans l’hérédité d’une inégalité, on multiplie par un nombre dont on vérifie qu’il est positif (ici $1 + a$), puis on se débarrasse du terme en trop ($na^2$) en justifiant qu’il est positif ou nul.