Résumé — Le circuit RC — Les Génies des Sciences

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Tout le circuit RC tient dans un nombre : le temps caractéristique $\tau = RC$ , qui fixe la durée du régime transitoire.

Le condensateur

Un condensateur, c’est l’accumulation de charges de signes opposés sur deux surfaces en regard séparées par un isolant. Sa capacité $C$ se mesure en farad (F) — ordres de grandeur usuels : du picofarad au millifarad.

Les trois relations du condensateur

$i = \frac{dq}{dt} \qquad q = C\,u_C \qquad i = C\,\frac{du_C}{dt}$

i en A, q en C (coulomb), C en F, u_C en V. 1 A = 1 C·s⁻¹ : l’intensité est un débit de charges.

L’équation différentielle

La loi des mailles appliquée au circuit (générateur $E$ , résistance $R$ , condensateur $C$ ) donne :

Équation différentielle de la charge

$RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E$

Pour la décharge : même équation avec un second membre nul. Savoir l’ÉTABLIR (loi des mailles + i = C du_C/dt) est exigible.

Charge

$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

De 0 vers E. À t = τ : 63 % de E.

Décharge

$u_C(t) = E\, e^{-t/\tau}$

De E vers 0. À t = τ : il reste 37 % de E.

Vérifier une solution = la dériver, l’injecter dans l’équation différentielle, et contrôler la condition initiale : ces trois lignes rapportent tous les points.

Le temps caractéristique

Temps caractéristique

$\tau = RC$

En secondes (Ω × F = s — la vérification d’homogénéité est une question classique). Graphiquement : intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote.

Les repères à connaître

À $t = \tau$ : 63 % de la variation est faite (37 % restants en décharge). Le régime permanent est atteint vers 5τ. Avant : régime transitoire.

Les pièges classiques

Continuité et régime permanent

La tension $u_C$ est toujours continue ; l’intensité, elle, est discontinue à $t = 0$ . Et en régime permanent, $u_C$ est constante donc $i = 0$ : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Attention aussi aux unités de $\tau$ : les capacités s’expriment souvent en µF ou nF — convertir avant de calculer.

Les capteurs capacitifs

Toute grandeur qui modifie la géométrie ou l’isolant d’un condensateur fait varier $C$ : c’est le principe de l’écran tactile, de l’accéléromètre MEMS d’un smartphone ou d’un capteur de niveau. Question de cours possible : expliquer qualitativement l’un de ces dispositifs.