Exercices corrigés — Le circuit RC

1. D’après le cours, la constante de temps d’un circuit RC vaut :

$\tau = R \times C = 10 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} = 1{,}0\ \text{s}$

(Une résistance en ohms multipliée par une capacité en farads donne bien des secondes.)

2. On considère qu’un condensateur est chargé à plus de 99 % au bout de cinq constantes de temps :

$\Delta t \approx 5\tau = 5{,}0\ \text{s}$

Réflexe à retenir : avant tout calcul, convertis $R$ en $\Omega$ et $C$ en $\text{F}$ ($1\ \text{k}\Omega = 10^{3}\ \Omega$, $1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$). L’oubli de ces conversions est l’erreur numéro 1 sur ce chapitre.

1. On applique directement la relation du cours :

$q = C \times u = 2{,}0 \times 10^{-6} \times 6{,}0 = 1{,}2 \times 10^{-5}\ \text{C}$

2. On isole $C$ dans la même relation :

$C = \frac{q}{u} = \frac{4{,}5 \times 10^{-5}}{9{,}0} = 5{,}0 \times 10^{-6}\ \text{F} = 5{,}0\ \mu\text{F}$

Astuce de vérification : les capacités usuelles vont du picofarad au millifarad — si tu obtiens plusieurs farads, c’est presque toujours un exposant oublié. Et retiens le trio d’unités : $q$ en coulombs, $C$ en farads, $u$ en volts.

1. Deux valeurs à connaître par cœur :

• à $t = 0$ : $e^{0} = 1$, donc $u_C(0) = E(1 - 1) = 0\ \text{V}$ — cohérent, le condensateur est déchargé ;
• quand $t \gg \tau$ : $e^{-t/\tau} \to 0$, donc $u_C \to E = 10\ \text{V}$ — le condensateur est chargé, la tension du générateur se retrouve entièrement à ses bornes.

2. À $t = \tau$ :

$u_C(\tau) = E\left(1 - e^{-1}\right) = 10 \times (1 - 0{,}37) = 6{,}3\ \text{V}$

Réflexe à retenir : à $t = \tau$, le condensateur a atteint 63 % de sa tension finale. C’est la méthode classique pour lire $\tau$ sur une courbe de charge : on repère l’instant où la courbe passe à $0{,}63 \times E$.

1. On calcule d’abord la constante de temps :

$\tau = R \times C = 20 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} = 2{,}0\ \text{s}$

2. À $t = 4{,}0\ \text{s}$, on a $\dfrac{t}{\tau} = \dfrac{4{,}0}{2{,}0} = 2$, donc :

$u_C = E\left(1 - e^{-2}\right) = 12 \times (1 - 0{,}135) = 12 \times 0{,}865 = 10{,}4\ \text{V}$

Au bout de deux constantes de temps, le condensateur a atteint environ 86 % de sa tension finale.

Astuce de vérification : $u_C$ doit toujours être comprise entre 0 et $E$ pendant la charge. Un résultat supérieur à 12 V signalerait immédiatement une erreur de calcul ou de signe dans l’exponentielle.

1. Attention aux conversions ($1\ \text{mF} = 10^{-3}\ \text{F}$) :

$\tau = R \times C = 1{,}5 \times 10^{3} \times 2{,}0 \times 10^{-3} = 3{,}0\ \text{s}$

2. On remarque que $4{,}5\ \text{V} = \dfrac{U_0}{2}$ : on cherche l’instant où la tension a été divisée par 2. On résout :

$U_0\, e^{-t_1/\tau} = \frac{U_0}{2} \quad \Longrightarrow \quad e^{-t_1/\tau} = \frac{1}{2}$

On applique le logarithme népérien aux deux membres :

$-\frac{t_1}{\tau} = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 \quad \Longrightarrow \quad t_1 = \tau \ln 2$

Application numérique :

$t_1 = 3{,}0 \times 0{,}69 = 2{,}1\ \text{s}$

Réflexe à retenir : la durée $\tau \ln 2$ est le « temps de demi-décharge » du condensateur — exactement le même raisonnement que la demi-vie en radioactivité, car les deux phénomènes suivent une décroissance exponentielle.