Statistiques à deux variables et ajustements maths complémentaires : résumé de cours

La température monte-t-elle avec les années ? Les ventes suivent-elles la publicité ? Pour relier deux grandeurs mesurées ensemble — deux variables — le statisticien trace un nuage de points, cherche la droite qui le résume le mieux, puis s’en sert pour prédire. Ce chapitre t’apprend à construire ces ajustements, à mesurer leur qualité avec le coefficient de corrélation… et à garder l’esprit critique : une corrélation, aussi belle soit-elle, n’a jamais prouvé une cause.

Le nuage de points et le point moyen

Une série statistique à deux variables, c’est une liste de couples $(x_i\,;\,y_i)$ : pour chaque individu ou chaque date, deux mesures. On la représente par un nuage de points dans un repère. Son centre de gravité est le point moyen :

$G\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right) \qquad \text{où } \bar{x} \text{ et } \bar{y} \text{ sont les moyennes des } x_i \text{ et des } y_i$

Premier réflexe devant un nuage : regarder son allure. Points presque alignés ? Un ajustement affine s’impose. Allure courbée ? Il faudra passer par un changement de variable.

La droite des moindres carrés

Quand le nuage s’allonge, on cherche la droite qui le résume le mieux. Le critère retenu : minimiser la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite (d’où le nom de moindres carrés). Cette droite est unique : c’est la droite de régression de $y$ en $x$ , et on la détermine à la calculatrice ou au tableur.

La droite des moindres carrés : y = ax + b

$a = \frac{\displaystyle\sum_{i}\left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right)}{\displaystyle\sum_{i}\left(x_i - \bar{x}\right)^2} \qquad \text{et} \qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}$

Ces formules sont fournies sans démonstration — en pratique, c’est la calculatrice qui calcule a et b. La relation b = ȳ − a·x̄ dit une chose à retenir : la droite passe toujours par le point moyen G.

Une fois la droite obtenue, chaque valeur de $x$ fournit une estimation de $y$ : c’est tout l’intérêt de l’ajustement.

Le coefficient de corrélation

La calculatrice affiche aussi un nombre $r$ , le coefficient de corrélation, toujours compris entre $-1$ et $1$ . Il mesure la force du lien linéaire entre les deux variables :

$r$ proche de $1$ : points presque alignés sur une droite croissante ;
$r$ proche de $-1$ : points presque alignés sur une droite décroissante ;
$r$ proche de $0$ : pas de lien linéaire — mais peut-être un lien d’une autre forme (courbe, parabole…), donc regarde toujours le nuage.

En pratique, un ajustement affine est jugé pertinent quand $|r|$ est proche de $1$ (typiquement au-delà de $0{,}9$ dans les sujets).

Corrélation n’est pas causalité !

Les ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées… parce que les deux augmentent l’été : la cause commune est la chaleur, pas les glaces. Un $r$ proche de $1$ dit que deux grandeurs varient ensemble — il ne dit jamais que l’une cause l’autre. Variable cachée, coïncidence, causalité inversée : avant de conclure « $x$ explique $y$ », cherche toujours une autre explication possible.

Quand la droite ne suffit pas : le changement de variable

Certains nuages sont franchement courbés — croissance d’une population, décharge d’un condensateur. Si le modèle pressenti est exponentiel, $y = k\,\mathrm{e}^{ax}$ , un logarithme le rend affine :

$y = k\,\mathrm{e}^{ax} \iff \ln y = ax + \ln k$

La méthode : poser $Y = \ln y$ , vérifier que le nuage des $(x_i\,;\,Y_i)$ est bien allongé (et calculer son ajustement affine $Y = ax + b$ ), puis revenir au modèle initial avec $k = \mathrm{e}^{b}$ . Le même principe s’adapte à d’autres formes : poser $Y = \sqrt{y}$ , $Y = \dfrac{1}{y}$ … selon l’allure du nuage.

Interpoler, extrapoler — avec esprit critique

Un ajustement sert à estimer des valeurs non mesurées :

interpolation : estimer $y$ pour un $x$ situé à l’intérieur de la plage des données — généralement fiable ;
extrapolation : estimer $y$ au-delà des données — de plus en plus risqué à mesure qu’on s’éloigne, car rien ne garantit que le modèle reste valable.

Une droite prolongée sans précaution finit toujours par dire des absurdités : population négative, note supérieure à 20, océan qui déborde. Le bon réflexe en conclusion d’exercice : préciser que l’estimation suppose que la tendance se poursuit — et signaler quand cette hypothèse devient douteuse.

Les pièges classiques

Les réflexes qui sauvent

Le point moyen $G$ est toujours sur la droite des moindres carrés : c’est le test de cohérence le plus rapide de tes calculs. Un $r$ proche de $0$ ne signifie pas « aucun lien » — seulement aucun lien linéaire. Dans le changement de variable, le retour au modèle se fait avec $k = \mathrm{e}^{b}$ : n’oublie pas de « dé-logarithmer » l’ordonnée à l’origine. Et ne confonds pas interpolation (dans les données, fiable) et extrapolation (hors des données, à justifier).

Résumé — Statistiques à deux variables et ajustements