Exercices — Statistiques à deux variables et ajustements

1. On place les quatre points $(10\,;\,12)$, $(15\,;\,20)$, $(20\,;\,26)$ et $(25\,;\,34)$ dans un repère (température en abscisse, ventes en ordonnée). Le nuage monte régulièrement : plus il fait chaud, plus les ventes sont élevées.

2. On moyenne chaque coordonnée :

$\bar{x} = \frac{10 + 15 + 20 + 25}{4} = 17{,}5 \qquad \bar{y} = \frac{12 + 20 + 26 + 34}{4} = \frac{92}{4} = 23$

Donc $G(17{,}5\,;\,23)$.

3. Oui : les points sont presque alignés — quand $x$ augmente de 5, $y$ augmente d’environ 7 à 8 à chaque fois (de $12$ à $20$, $20$ à $26$, $26$ à $34$ : écarts $8$, $6$, $8$). Une droite résumera bien ce nuage ; c’est exactement le travail de la droite des moindres carrés de l’exercice suivant.

Réflexe à retenir : toujours regarder l’allure du nuage avant de calculer — un ajustement affine n’a de sens que si le nuage s’allonge à peu près en ligne droite. Et le point moyen se calcule en moyennant chaque coordonnée séparément.

1. $\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ et $\bar{y} = \dfrac{2 + 4 + 5 + 7 + 8}{5} = \dfrac{26}{5} = 5{,}2$.

2. On organise les écarts à la moyenne :

Somme des produits : $6{,}4 + 1{,}2 + 0 + 1{,}8 + 5{,}6 = 15$. Somme des carrés des $x_i - \bar{x}$ : $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$. Donc :

$a = \frac{15}{10} = 1{,}5 \qquad b = 5{,}2 - 1{,}5 \times 3 = 0{,}7$

La droite des moindres carrés a pour équation $y = 1{,}5x + 0{,}7$.

3. Pour $x = \bar{x} = 3$ : $1{,}5 \times 3 + 0{,}7 = 5{,}2 = \bar{y}$ ✓. Le point moyen $G(3\,;\,5{,}2)$ est bien sur la droite — c’est toujours le cas, et c’est le meilleur test de cohérence.

4. Pour $x = 6$ : $y = 1{,}5 \times 6 + 0{,}7 = 9{,}7$. La valeur $6$ est en dehors de la plage des données ($1$ à $5$) : c’est une extrapolation — proche des données, donc encore raisonnable, à condition que la tendance se poursuive.

Réflexe à retenir : au contrôle, la droite s’obtient à la calculatrice (mode statistiques à deux variables) — mais sache dérouler la formule sur un petit tableau, et vérifie toujours que $G$ est sur ta droite.

1.

• a. $r = 0{,}92$ est proche de $1$ : fort lien linéaire croissant — les grandes tailles vont avec les grandes pointures. L’ajustement affine est pertinent.
• b. $r = -0{,}97$ : $|r|$ est très proche de $1$, fort lien linéaire décroissant — la température baisse quand l’altitude augmente. Le signe indique le sens, pas la qualité.
• c. $r = 0{,}08$ est proche de $0$ : aucun lien linéaire entre pointure et note au bac — un ajustement affine n’aurait aucun sens ici.

2. Non ! La corrélation est réelle, mais elle s’explique par une variable cachée : la taille des communes. Les grandes communes ont à la fois plus de toits (donc plus de nids de cigognes) et plus d’habitants (donc plus de naissances). Les deux grandeurs varient ensemble parce qu’elles dépendent toutes deux d’une troisième — pas parce que l’une cause l’autre.

Réflexe à retenir : $|r|$ proche de $1$ = les points sont presque alignés, rien de plus. Avant toute conclusion du type « $x$ explique $y$ », cherche la variable cachée, la coïncidence ou la causalité inversée : corrélation n’est pas causalité.

1. $N$ double à chaque heure : les accroissements ($+100$, $+200$, $+400$) ne sont pas constants mais proportionnels à $N$. Le nuage s’incurve fortement vers le haut — c’est la signature d’une croissance exponentielle, pas affine.

2. $Y_0 = \ln 100 \approx 4{,}61$ ; $Y_1 = \ln 200 \approx 5{,}30$ ; $Y_2 = \ln 400 \approx 5{,}99$ ; $Y_3 = \ln 800 \approx 6{,}68$. Les accroissements de $Y$ sont constants ($\approx 0{,}69$, qui est $\ln 2$) : les points $(t_i\,;\,Y_i)$ sont parfaitement alignés, sur la droite $Y = (\ln 2)\,t + \ln 100$.

3. On revient au modèle initial en prenant l’exponentielle :

$\ln N = (\ln 2)\,t + \ln 100 \iff N = \mathrm{e}^{\ln 100} \times \mathrm{e}^{(\ln 2)\,t} = 100 \times 2^t$

C’est bien la forme $N = k\,\mathrm{e}^{at}$ avec $k = 100$ et $a = \ln 2 \approx 0{,}69$ — et le modèle dit simplement : la population double chaque heure.

4. Pour $t = 5$ : $N = 100 \times 2^5 = 3200$ milliers, soit $3{,}2$ millions de bactéries. À court terme, l’estimation est crédible ; à long terme, non : les nutriments et la place viennent à manquer, la croissance ralentit et le modèle exponentiel cesse d’être valable. Aucune population ne double éternellement.

Réflexe à retenir : nuage courbé qui double (ou est multiplié par un même facteur) à intervalles réguliers → pose $Y = \ln y$, ajuste la droite, puis reviens au modèle avec $k = \mathrm{e}^{b}$. Et borne toujours la validité d’un modèle exponentiel dans le temps.

1. $\bar{x} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = 2$ et $\bar{y} = \dfrac{3 + 5 + 8 + 10 + 14}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$ : le point moyen est $G(2\,;\,8)$.

2. Pour $x = 2$ : $2{,}7 \times 2 + 2{,}6 = 8 = \bar{y}$ ✓ — la droite passe bien par $G$, comme toujours. Et $r \approx 0{,}99$ est très proche de $1$ : les points sont presque alignés sur une droite croissante, l’ajustement affine est excellent.

3. Chaque année, la chaîne gagne environ $2{,}7$ milliers d’abonnés, soit 2 700 abonnés par an : le coefficient directeur est l’accroissement annuel moyen prédit par le modèle.

4. Pour $x = 1{,}5$ : $y = 2{,}7 \times 1{,}5 + 2{,}6 = 6{,}65$, soit environ $6\,650$ abonnés — une interpolation (à l’intérieur de la plage $[0\,;\,4]$), fiable. Pour $x = 6$ : $y = 2{,}7 \times 6 + 2{,}6 = 18{,}8$, soit environ $18\,800$ abonnés — une extrapolation, raisonnable car proche des données, mais qui suppose que la tendance se poursuive.

5. Le calcul est juste ($2{,}7 \times 20 + 2{,}6 = 56{,}6$), mais la conclusion est fragile : $x = 20$ est très loin de la plage observée $[0\,;\,4]$. En seize ans, tout peut changer — audience saturée, concurrence, arrêt de la chaîne… Même avec $r \approx 0{,}99$ sur cinq années, rien ne garantit que le modèle reste valable : une extrapolation lointaine se présente comme une hypothèse, jamais comme une certitude.

Réflexe à retenir : un exercice complet d’ajustement enchaîne toujours point moyen → droite (vérifiée avec $G$) → interprétation de $r$ et du coefficient directeur → estimation — et se conclut par une phrase d’esprit critique sur la validité du modèle. Cette phrase rapporte des points : ne la saute jamais.