Résumé — Statistiques descriptives — Les Génies des Sciences

Les notes d’un trimestre, les températures du mois, les salaires d’une entreprise : impossible de tout regarder valeur par valeur. La statistique descriptive résume une série par quelques indicateurs — de position (autour de quelle valeur se situe la série ?) et de dispersion (les valeurs sont-elles serrées ou étalées ?).

Les indicateurs de position

La moyenne $\bar{x}$ : la somme des valeurs divisée par l’effectif total.
La médiane (rappel de 3e) : elle partage la série ordonnée en deux moitiés — au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.
Les quartiles (rappel de 3e) : $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins un quart des valeurs lui soient inférieures ou égales ( $Q_3$ : au moins trois quarts).

Moyenne pondérée

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p}$

Chaque valeur compte autant de fois que son effectif. C’est aussi la formule pour fusionner des moyennes de groupes : 15 filles à 12,4 de moyenne et 10 garçons à 11,2 donnent (15 × 12,4 + 10 × 11,2) ÷ 25 = 11,92 — et surtout pas (12,4 + 11,2) ÷ 2.

La linéarité de la moyenne

Si on ajoute le même nombre $b$ à toutes les valeurs, la moyenne augmente de $b$ . Si on multiplie toutes les valeurs par $a$ , la moyenne est multipliée par $a$ . Un point bonus pour toute la classe → moyenne +1 ; des prix qui augmentent tous de 10 % (× 1,1) → prix moyen × 1,1. Aucun nouveau calcul à faire.

Les indicateurs de dispersion

L’étendue : l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur.
L’écart interquartile $Q_3 - Q_1$ : la largeur de la « moitié centrale » de la série.
L’écart type : il mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. En seconde, on le lit à la calculatrice (mode statistiques), aucune formule à apprendre — mais il faut savoir l’interpréter : plus il est grand, plus les valeurs sont étalées autour de la moyenne ; il s’exprime dans la même unité que les valeurs ; il vaut $0$ quand toutes les valeurs sont égales.

Ajouter ou supprimer une valeur

La moyenne utilise toutes les valeurs : ajouter (ou supprimer) une valeur très éloignée des autres la déplace nettement — elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane, elle, ne dépend que du milieu de la série ordonnée : elle bouge peu. Un seul très haut salaire fait grimper le salaire moyen d’une entreprise, mais presque pas le salaire médian — d’où l’intérêt de citer les deux.

Séries regroupées en classes de même amplitude

Pour une grandeur continue (tailles, temps d’écran…), on regroupe les valeurs en classes comme $[0\,;\,1[$ , $[1\,;\,2[$ …

Histogramme : un rectangle par classe ; à amplitudes égales, la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Moyenne : on remplace chaque classe par son centre (hypothèse : répartition uniforme dans la classe), puis on calcule la moyenne pondérée par les effectifs — c’est une estimation.
Classe médiane : la première classe où l’effectif cumulé atteint la moitié de l’effectif total ; en supposant la répartition uniforme dans cette classe, on peut affiner l’estimation de la médiane par proportionnalité.
Polygone des fréquences cumulées : on place, à la borne de fin de chaque classe, la fréquence cumulée croissante, puis on relie les points par des segments — la médiane se lit à l’ordonnée 50 %.

Comparer deux séries

Deux couples d’indicateurs servent de référence : (moyenne ; écart type) et (médiane ; écart interquartile). Deux classes peuvent avoir la même moyenne de 12 avec des profils opposés : écart type 1 (résultats groupés) ou écart type 5 (résultats en dents de scie). Position et dispersion : il faut les deux pour décrire une série.

Les pièges classiques

La moyenne seule peut mentir

Sensible aux valeurs extrêmes, la moyenne peut s’éloigner de la valeur « typique » — la médiane, elle, résiste. Pour une série regroupée en classes, la moyenne calculée avec les centres n’est qu’une estimation : les valeurs exactes ont disparu au regroupement. Et ne compare jamais deux séries sur la seule moyenne : ajoute toujours un indicateur de dispersion.