Exercices — Statistiques descriptives

1. $\bar{x} = \dfrac{8 + 11 + 12 + 14 + 9 + 12 + 15 + 11}{8} = \dfrac{92}{8} = 11{,}5$.

2. On ordonne d’abord : $8$ ; $9$ ; $11$ ; $11$ ; $12$ ; $12$ ; $14$ ; $15$. Avec $8$ valeurs (effectif pair), la médiane est entre la 4ᵉ et la 5ᵉ valeur : $\text{Me} = \dfrac{11 + 12}{2} = 11{,}5$. (Ici médiane et moyenne coïncident — ce n’est pas toujours le cas !)

3. Étendue : $15 - 8 = 7$.

4. $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart des notes lui soient inférieures ou égales : $\dfrac{8}{4} = 2$, donc $Q_1$ est la 2ᵉ valeur de la série ordonnée : $Q_1 = 9$. De même, $\dfrac{3 \times 8}{4} = 6$ : $Q_3$ est la 6ᵉ valeur, soit $Q_3 = 12$. Écart interquartile : $Q_3 - Q_1 = 12 - 9 = 3$.

Réflexe à retenir : ordonne toujours la série avant de chercher médiane et quartiles — la moyenne, elle, se moque de l’ordre des valeurs.

1. Les deux groupes n’ont pas le même effectif : les $15$ notes des filles pèsent plus lourd que les $10$ notes des garçons. Il faut une moyenne pondérée par les effectifs.

2. $\bar{x} = \frac{15 \times 12{,}4 + 10 \times 11{,}2}{25} = \frac{186 + 112}{25} = \frac{298}{25} = 11{,}92$

3. Linéarité de la moyenne : ajouter $1$ à toutes les valeurs ajoute $1$ à la moyenne, qui passe à $11{,}92 + 1 = 12{,}92$. Aucun besoin de refaire le calcul complet.

4. Multiplier toutes les notes par $5$ multiplie la moyenne par $5$ : $12{,}92 \times 5 = 64{,}6$ sur $100$.

Réflexe à retenir : des moyennes de groupes se fusionnent en pondérant par les effectifs ; et quand toutes les valeurs subissent la même transformation ($+\,b$ ou $\times\,a$), la moyenne suit automatiquement.

1. Zoé : $\dfrac{10 + 11 + 12 + 13 + 14}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$. Maëlle : $\dfrac{4 + 8 + 12 + 16 + 20}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$. Les deux moyennes valent $12$.

2. Zoé : $14 - 10 = 4$. Maëlle : $20 - 4 = 16$.

3. L’écart type mesure la dispersion autour de la moyenne. Les notes de Zoé restent groupées près de $12$ (écart type faible) ; celles de Maëlle s’en éloignent fortement (écart type quatre fois plus grand) : elle alterne très bonnes notes et notes très faibles.

4. Les couples sont $(12\,;\,1{,}41)$ pour Zoé et $(12\,;\,5{,}66)$ pour Maëlle : même niveau moyen, mais Zoé est régulière là où Maëlle est en dents de scie. La moyenne seule ne permettait pas de les distinguer.

Réflexe à retenir : ne compare jamais deux séries sur la seule moyenne — ajoute un indicateur de dispersion ; c’est tout l’intérêt du couple (moyenne ; écart type).

1. Somme des salaires : $17\ 200$ €, donc moyenne $\dfrac{17\ 200}{8} = 2\ 150$ €. La série est déjà ordonnée : la médiane est entre la 4ᵉ et la 5ᵉ valeur, $\dfrac{2\ 100 + 2\ 200}{2} = 2\ 150$ €.

2. Nouvelle somme : $17\ 200 + 6\ 650 = 23\ 850$ €, pour $9$ salaires : $\bar{x} = \dfrac{23\ 850}{9} = 2\ 650$ €. Avec $9$ valeurs, la médiane est la 5ᵉ de la série ordonnée : $2\ 200$ €.

3. La moyenne a bondi de $2\ 150$ à $2\ 650$ € ($+500$ €) : elle intègre la valeur extrême $6\ 650$. La médiane n’a glissé que de $2\ 150$ à $2\ 200$ € ($+50$ €) : elle ne dépend que du milieu de la série, elle est robuste face aux valeurs extrêmes.

4. Le calcul est exact… mais peu représentatif : $8$ salariés sur $9$ gagnent moins que $2\ 650$ €. Le salaire médian ($2\ 200$ €) décrit mieux le salaire « typique » de l’entreprise — d’où l’intérêt d’annoncer les deux indicateurs.

Réflexe à retenir : la moyenne encaisse toutes les valeurs, la médiane ne regarde que le milieu — face à une valeur extrême, calcule les deux avant de conclure.

1. Les centres de classes sont $0{,}5$ ; $1{,}5$ ; $2{,}5$ ; $3{,}5$. Moyenne pondérée par les effectifs :

$\bar{x} = \frac{8 \times 0{,}5 + 16 \times 1{,}5 + 10 \times 2{,}5 + 6 \times 3{,}5}{40} = \frac{4 + 24 + 25 + 21}{40} = \frac{74}{40} = 1{,}85 \text{ h}$

soit $1$ h $51$ min. On suppose la répartition uniforme dans chaque classe (chaque valeur est assimilée au centre de sa classe) : le résultat est une estimation de la moyenne.

2. Effectifs cumulés croissants : $8$ ; $24$ ; $34$ ; $40$. La moitié de l’effectif est $20$ : les 20ᵉ et 21ᵉ valeurs se trouvent dans la classe $[1\,;\,2[$ (qui contient les rangs $9$ à $24$). La classe médiane est donc $[1\,;\,2[$.

3. Fréquences : $20\ \%$ ; $40\ \%$ ; $25\ \%$ ; $15\ \%$, d’où les fréquences cumulées croissantes :

On place les points $(0\,;\,0\ \%)$, $(1\,;\,20\ \%)$, $(2\,;\,60\ \%)$, $(3\,;\,85\ \%)$ et $(4\,;\,100\ \%)$, puis on les relie par des segments : c’est le polygone des fréquences cumulées. La médiane se lit à l’ordonnée $50\ \%$, entre $1$ h ($20\ \%$) et $2$ h ($60\ \%$) ; par proportionnalité :

$\text{Me} \approx 1 + \frac{50 - 20}{60 - 20} = 1 + 0{,}75 = 1{,}75 \text{ h}$

soit environ $1$ h $45$ min.

4. Couples (moyenne ; écart type) : $(1{,}85\,;\,0{,}96)$ contre $(2{,}1\,;\,0{,}4)$. La classe voisine passe plus de temps devant les écrans en moyenne, mais ses élèves ont des usages plus homogènes (écart type plus de deux fois plus petit). Dans notre classe, les comportements sont plus contrastés : petits et gros consommateurs d’écrans cohabitent.

Réflexe à retenir : série en classes → centres pour estimer la moyenne, effectifs cumulés pour la classe médiane, fréquences cumulées pour lire la médiane à $50\ \%$ sur le polygone.