Résumé — Arithmétique : multiples, diviseurs et parité

Savoir si 132 joueurs se répartissent exactement en équipes de 11, simplifier une fraction sans calculatrice, expliquer pourquoi le carré d’un impair est forcément impair : bienvenue dans l’arithmétique, le monde des nombres entiers — celui où l’on ne coupe jamais rien en morceaux.

Deux ensembles pour compter : ℕ et ℤ

$\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,\dots\}$ : les entiers naturels, ceux qui servent à compter.
$\mathbb{Z} = \{\dots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\}$ : les entiers relatifs, qui ajoutent les négatifs.

Tout entier naturel est aussi un entier relatif : on écrit ℕ ⊂ ℤ (« ℕ est inclus dans ℤ »).

Multiples et diviseurs : une seule définition

a est un multiple de b

$a = k \times b \qquad \text{avec } k \text{ entier}$

Exemple : 42 = 6 × 7, donc 42 est un multiple de 7 (et de 6). On dit aussi que 7 divise 42, ou que 7 est un diviseur de 42 : c’est la même relation, lue dans l’autre sens.

0 est multiple de tout entier ( $0 = 0 \times b$ ) et 1 divise tout entier.
Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs, mais une infinité de multiples.

Trouver tous les diviseurs d’un nombre

Cherche-les par paires : $24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ , donc les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Quand les deux facteurs d’une paire se rapprochent, tu as fini le tour.

Pair ou impair : une écriture qui dit tout

Un entier pair est un multiple de 2 : il s’écrit $2k$ avec $k$ entier. Un entier impair s’écrit $2k + 1$ . Cette traduction en écriture littérale est l’outil n°1 des démonstrations du chapitre.

En pratique, pas besoin de calcul : un entier est pair si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Les deux démonstrations à savoir refaire

Elles tombent en contrôle, et chacune tient en deux lignes :

La somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 : si $m = 7k$ et $n = 7p$ , alors $m + n = 7k + 7p = 7(k + p)$ — et $k + p$ est un entier. (Le même raisonnement marche pour les multiples de 12, de 25, de n’importe quel entier.)
Le carré d’un impair est impair : $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ — c’est bien un « double plus 1 ».

Tu les refais pas à pas, guidé question par question, dans la série d’exercices du chapitre.

Fractions irréductibles

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Pour y arriver, simplifie par les diviseurs communs jusqu’à épuisement :

$\frac{42}{70} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$

Ici on a divisé par 2, puis par 7. Plus rapide si tu le vois : diviser directement par 14.

Les pièges classiques

Trois réflexes qui sauvent des points

Ne confonds pas les rôles : dans $56 = 8 \times 7$ , c’est 56 le multiple, 8 et 7 sont les diviseurs — le multiple est le plus « gros ». Méfie-toi des faux nombres premiers : $91 = 7 \times 13$ , et ça se vérifie en posant la multiplication. Enfin, la somme de deux impairs n’est jamais impaire : $(2k + 1) + (2p + 1) = 2(k + p + 1)$ , un pair.