Exercices — Arithmétique : multiples, diviseurs et parité

1. On cherche les diviseurs par paires : $24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$. Les diviseurs de $24$ sont donc $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$.

2. Oui : $132 = 12 \times 11$, avec $k = 12$ entier. C’est exactement la définition ($a = k \times b$) : $132$ est un multiple de $11$.

3. $91 = 7 \times 13$ : oui, $7$ divise $91$. En revanche $92 = 7 \times 13 + 1$ : la division par $7$ ne tombe pas juste, donc $7$ ne divise pas $92$.

4. $8 \times 12 = 96$ et $8 \times 13 = 104$, qui dépasse $100$ : le plus grand multiple de $8$ inférieur ou égal à $100$ est $96$.

Réflexe à retenir : pour prouver qu’un nombre est un multiple, exhibe l’entier $k$ qui convient — une seule égalité du type $a = k \times b$ suffit, pas besoin de poser la division.

1. $58 = 2 \times 29$ (pair) ; $73 = 2 \times 36 + 1$ (impair) ; $2\ 047 = 2 \times 1\ 023 + 1$ (impair).

2. Pair $+$ impair $=$ impair, donc $348 + 571$ est impair. Démonstration : $2k + (2p + 1) = 2(k + p) + 1$, un « double plus 1 ». (Vérification : $348 + 571 = 919$ ✓.)

3. $348$ est pair, donc $348 \times 571 = 2 \times (174 \times 571)$ : c’est $2$ fois un entier, le produit est pair. Un seul facteur pair suffit à rendre tout un produit pair.

4. Soit deux impairs $2k + 1$ et $2p + 1$. Leur somme vaut $(2k + 1) + (2p + 1) = 2k + 2p + 2 = 2(k + p + 1)$ : un multiple de $2$, donc un nombre pair. Exemple : $7 + 9 = 16$.

Réflexe à retenir : traduis « pair » par $2k$ et « impair » par $2k + 1$ — une fois la parité écrite en littéral, le calcul fait la démonstration à ta place.

1. $\dfrac{45}{60} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ (on a divisé par $5$, puis par $3$).

2. $\dfrac{90}{126} = \dfrac{45}{63} = \dfrac{5}{7}$ (on a divisé par $2$, puis par $9$).

3. $68 = 4 \times 17$ et $51 = 3 \times 17$, donc $\dfrac{68}{51} = \dfrac{4}{3}$. Une fraction plus grande que $1$ peut très bien être irréductible — rien d’anormal.

4. $\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5}$ (division par $7$) : trois élèves sur cinq font théâtre.

Réflexe à retenir : simplifie par étapes avec les petits diviseurs visibles ($2$, $3$, $5$, $9$…) jusqu’à ce que numérateur et dénominateur n’aient plus aucun diviseur commun autre que $1$.

1. $21 + 35 = 56 = 7 \times 8$ : c’est bien un multiple de $7$. Un exemple ne démontre rien, mais il donne confiance dans l’affirmation.

2. Par définition d’un multiple : $m = 7k$ et $n = 7p$, avec $k$ et $p$ entiers.

3. $m + n = 7k + 7p = 7(k + p)$. Comme $k + p$ est un entier, $m + n$ est de la forme $7 \times \text{entier}$ : c’est un multiple de 7. Démontré.

4. Oui : le $7$ n’a rien de spécial. Avec $m = 12k$ et $n = 12p$, on obtient $m + n = 12(k + p)$ : la somme de deux multiples de $12$ est un multiple de $12$.

5. $3 + 4 = 7$ : ni $3$ ni $4$ n’est un multiple de $7$, et pourtant leur somme en est un. Un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.

Réflexe à retenir : « $m$ est un multiple de 7 » se traduit par $m = 7k$ — nomme les entiers, calcule, puis factorise par 7 : cette factorisation est la conclusion de la démonstration.

1. $3^2 = 9$, $5^2 = 25$, $7^2 = 49$, $9^2 = 81$ : les carrés de ces impairs sont tous impairs. On conjecture que le carré d’un impair est toujours impair — reste à le démontrer.

2. Avec l’identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$(2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \times 2k \times 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

3. $4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. En posant $K = 2k^2 + 2k$, qui est un entier, on obtient $n^2 = 2K + 1$ : un nombre impair. Le carré d’un impair est impair — démontré.

4. Si $n = 2k$ est pair, alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)$ : c’est $2$ fois un entier, le carré d’un pair est pair.

5. $1\ 225$ est impair (il se termine par $5$). Si $n$ était pair, son carré serait pair d’après la question 4 — impossible. Donc $n$ est impair. (C’est $n = 35$, et $35^2 = 1\ 225$ ✓.)

Réflexe à retenir : les questions d’un exercice de démonstration s’enchaînent — exemple, conjecture, écriture littérale, calcul, conclusion. En contrôle, la question 5 se résout avec la question 4, pas avec la calculatrice.