Résumé — Variations des fonctions et optimisation

Monter, descendre, plafonner : le profil d’une étape de montagne se lit d’un coup d’œil. Pour une fonction, ce profil — ses variations — se lit sur le signe d’un seul objet : la dérivée. C’est le chapitre où la dérivation devient rentable : études de fonctions, recherche de records, problèmes d’optimisation.

Paires, impaires : repérer les symétries

Sur un ensemble de définition symétrique par rapport à $0$ :

$f$ est paire lorsque $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ — courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exemples : le carré, la valeur absolue.
$f$ est impaire lorsque $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ — courbe symétrique par rapport à l’origine du repère. Exemples : le cube, l’inverse.

En pratique : calcule $f(-x)$ , compare-le à $f(x)$ puis à $-f(x)$ . Une symétrie détectée, c’est la moitié de l’étude économisée.

Le signe de f′ donne le sens de variation

Le théorème clé du chapitre (admis)

$f' > 0 \text{ sur } I \implies f \text{ strictement croissante sur } I$

De même, f′ < 0 sur I donne f strictement décroissante ; et f′ nulle sur tout I équivaut à f constante sur I. La pente des tangentes dit si la courbe monte ou descend.

Le plan d’étude, toujours le même :

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ — factorise, un tableau de signes ne se fait que sur un produit ou un quotient.
Dresser le tableau de variations (flèches).
Lire les extremums.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x$ donne $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , positive à l’extérieur des racines. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ , décroissante sur $[-1\,;\,1]$ , croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ : maximum local $f(-1) = 2$ , minimum local $f(1) = -2$ .

Extremum et tangente horizontale

En un extrémum local d’une fonction dérivable, la courbe ne monte ni ne descend : la tangente y est horizontale et $f'(a) = 0$ .

La réciproque est fausse !

$f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ , et pourtant aucun extrémum en $0$ : la courbe traverse en montant ( $f'$ reste positive des deux côtés). Un extrémum exige que $f'$ change de signe en $a$ — c’est le tableau de signes qui tranche, pas la seule équation $f'(a) = 0$ .

Optimisation, inégalités, position relative

Optimisation : traduis le problème en une fonction d’une seule variable avec son domaine, étudie ses variations, conclus en répondant à la question (avec les unités).
Inégalité $f(x) \le g(x)$ : étudie la différence $d = g - f$ ; si son minimum est positif ou nul, l’inégalité est prouvée.
Position relative de deux courbes : le signe de $f(x) - g(x)$ dit qui est au-dessus ; une annulation signale un point commun.

Le second degré revisité

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ ), la dérivée $f'(x) = 2ax + b$ s’annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ : la dérivation redémontre la position du sommet vue en seconde.

Si $a > 0$ : $f'$ passe du négatif au positif, $f$ décroit puis croit — minimum, parabole tournée vers le haut.
Si $a < 0$ : $f'$ passe du positif au négatif — maximum, parabole tournée vers le bas.

Les pièges classiques

Le bon signe au bon étage

On étudie le signe de $f'$ pour obtenir les variations de $f$ : ne mélange pas les deux lignes du tableau (le signe de $f$ elle-même est une autre question). $f'(a) = 0$ sans changement de signe ne donne aucun extrémum. En optimisation, vérifie le domaine (une longueur reste positive !) et relis la question : le maximum du volume n’est pas la valeur de $x$ qui le réalise — donne les deux si on te les demande.