Résumé — Les suites numériques — Les Génies des Sciences

Le nombre d’abonnés d’une chaine mois après mois, la hauteur d’une balle à chaque rebond, une population de bactéries heure après heure : dès qu’une quantité évolue étape par étape, la liste de ses valeurs forme une suite numérique. En première, tu apprends à décrire ces listes de nombres, à calculer leurs termes et à prévoir leur comportement — c’est l’outil de base de tous les modèles « discrets », ceux qui avancent par paliers plutôt qu’en continu.

Une suite, c’est quoi ?

Une suite $u$ associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel, noté $u_n$ ou $u(n)$ : c’est le terme d’indice $n$ . Imagine une file de nombres numérotés : $u_0$ est le premier de la file, $u_1$ le suivant, et ainsi de suite sans fin.

Les notations $(u_n)$ et $(u(n))$ désignent la suite tout entière ; $u_n$ tout seul désigne un seul nombre, le terme numéro $n$ .
Attention au décalage : si la suite commence à $u_0$ , alors $u_n$ est le $(n+1)$ -ième terme de la file.

Quatre façons de fabriquer une suite

Explicite ou récurrence ?

$u_n = f(n) \qquad \text{ou} \qquad u_0 \text{ donné et } u_{n+1} = f(u_n)$

À gauche, chaque terme se calcule directement à partir de son numéro n. À droite, chaque terme se calcule à partir du précédent : il faut un point de départ et une règle de passage.

Formule explicite : $u_n = n^2 + 1$ . Pour $u_{10}$ , un seul calcul : $u_{10} = 100 + 1 = 101$ .
Relation de récurrence : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ . On obtient $3$ ; $5$ ; $9$ ; $17$ … Chaque terme exige le précédent : pour $u_{10}$ , il faut calculer les dix termes d’avant.
Algorithme : une boucle qui répète la règle de passage (calculatrice, tableur, Python). C’est la version « machine » de la récurrence.
Motif géométrique : on compte les éléments d’une figure qui grandit étape par étape (carrés, allumettes, points…), puis on cherche une relation de récurrence ou une formule explicite.

Le sens de variation

La suite $(u_n)$ est croissante lorsque $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ , décroissante lorsque $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ , constante lorsque tous les termes sont égaux. Certaines suites ne sont ni l’un ni l’autre, comme $1$ ; $-1$ ; $1$ ; $-1$ …

Les deux tests de monotonie

$\text{signe de } u_{n+1} - u_n \qquad \text{ou, si tous les } u_n > 0,\ \text{comparer } \frac{u_{n+1}}{u_n} \text{ à } 1$

Différence positive pour tout n → croissante ; négative → décroissante. Le quotient ne s’utilise que pour des termes strictement positifs : plus grand que 1 → croissante, plus petit que 1 → décroissante.

Exemple (différence) : pour $u_n = n^2 + 4n$ , on calcule $u_{n+1} - u_n = 2n + 5 > 0$ pour tout $n$ : la suite est croissante.
Exemple (quotient) : pour $v_n = 5 \times 0{,}8^n$ , tous les termes sont strictement positifs et $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 0{,}8 < 1$ : la suite est décroissante.

Vers la notion de limite

Que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ? Trois comportements possibles, à observer sur des exemples :

$u_n = \dfrac{1}{n+1}$ : les termes $1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}33$ … se rapprochent de $0$ d’aussi près qu’on veut. On conjecture une limite finie : $0$ .
$u_n = n^2$ : les termes finissent par dépasser n’importe quel plafond ( $100$ , puis $10^6$ , puis…). On conjecture une limite infinie : la suite tend vers $+\infty$ .
$u_n = (-1)^n$ : les termes oscillent $1$ ; $-1$ ; $1$ ; $-1$ … sans jamais se stabiliser : pas de limite.

En première, on conjecture — on ne démontre pas

La définition rigoureuse de la limite attend la terminale. Cette année, l’outil c’est l’observation : calcule $u_{50}$ , $u_{100}$ , $u_{1000}$ à la calculatrice (mode suite ou table de valeurs) ou au tableur, regarde la tendance, et formule une conjecture : limite finie, limite infinie, ou pas de limite.

Les pièges classiques

u(n+1), c’est le terme suivant — pas u(n) + 1

$u_{n+1}$ est le terme suivant (l’indice augmente de 1) : rien à voir avec $u_n + 1$ (la valeur augmentée de 1). De même, $(u_n)$ désigne la suite entière et $u_n$ un seul nombre. Autre piège : calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ ne démontre pas qu’une suite est croissante — il faut un argument valable pour tout $n$ , comme le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Enfin, le test du quotient exige des termes strictement positifs : jamais de quotient si des termes sont nuls ou négatifs.