Exercices — Les suites numériques

1. On remplace $n$ par la valeur voulue : $u_0 = 2 \times 0^2 - 3 \times 0 + 1 = 1$ ; $u_1 = 2 \times 1^2 - 3 \times 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$ ; $u_2 = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.

2. Pas besoin des termes précédents — c’est tout l’intérêt d’une formule explicite : $u_{10} = 2 \times 10^2 - 3 \times 10 + 1 = 200 - 30 + 1 = 171$.

3. On remplace $n$ par $n + 1$ partout, avec des parenthèses :

$u_{n+1} = 2(n+1)^2 - 3(n+1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - 3n - 3 + 1 = 2n^2 + n$

4. Pour $n = 1$, la formule donne $u_2 = 2 \times 1^2 + 1 = 3$ : c’est bien la valeur trouvée à la question 1 ✓.

Réflexe à retenir : pour calculer $u_{n+1}$, remplace $n$ par $(n+1)$ entre parenthèses dans toute la formule — l’oubli des parenthèses dans $(n+1)^2$ est l’erreur numéro un du chapitre.

1. On applique la règle de passage à partir de $u_0 = 1$ : $u_1 = 3 \times 1 + 2 = 5$ ; $u_2 = 3 \times 5 + 2 = 17$ ; $u_3 = 3 \times 17 + 2 = 53$.

2. Les termes calculés augmentent ($1 < 5 < 17 < 53$) : la suite semble croissante. Ce n’est qu’une conjecture — quelques termes ne démontrent rien.

3. Non : la relation de récurrence ne donne un terme qu’à partir du précédent. Algorithme en français : « partir de la valeur $1$, puis répéter $50$ fois l’opération “tripler et ajouter 2” ; le résultat final est $u_{50}$ ». C’est exactement ce qu’on programme avec une boucle (tableur, Python ou calculatrice).

4. $w_1 = 3 \times (-1) + 2 = -1$ : on retombe sur $-1$ ! Donc $w_2 = -1$ et $w_3 = -1$ : la suite $(w_n)$ est constante. Même règle de passage, premier terme différent → comportement totalement différent : le premier terme fait partie intégrante de la définition.

Réflexe à retenir : une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche — et son comportement dépend autant du premier terme que de la règle de passage.

1. $u_1 = 4$. Chaque nouveau carré ajoute $3$ allumettes : $u_2 = 4 + 3 = 7$ et $u_3 = 7 + 3 = 10$.

2. Passer de $n$ carrés à $n + 1$ carrés coute $3$ allumettes de plus : $u_{n+1} = u_n + 3$.

3. Décompte direct sur le motif : la frise commence par $1$ allumette verticale (le bord gauche), puis chaque carré apporte $3$ allumettes (le haut, le bas et son bord droit). Pour $n$ carrés :

$u_n = 1 + 3n$

On retrouve bien $u_1 = 4$, $u_2 = 7$ et $u_3 = 10$ ✓.

4. $u_{25} = 3 \times 25 + 1 = 76$ allumettes. Avec $100$ allumettes, on cherche le plus grand $n$ tel que $3n + 1 \leq 100$, c’est-à-dire $3n \leq 99$, soit $n \leq 33$ : on construit $33$ carrés — et comme $3 \times 33 + 1 = 100$, il ne reste aucune allumette.

Réflexe à retenir : face à un motif qui grandit, pose-toi deux questions : « qu’est-ce qui s’ajoute à chaque étape ? » (→ relation de récurrence) et « comment compter directement l’étape $n$ ? » (→ formule explicite). Les deux doivent redonner les mêmes premiers termes.

1. On étudie le signe de la différence :

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 4(n+1) - n^2 - 4n = n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 - n^2 - 4n = 2n + 5$

Pour tout entier $n \geq 0$, $2n + 5 > 0$, donc $u_{n+1} > u_n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Tous les termes sont strictement positifs (produit de nombres strictement positifs). On peut donc utiliser le quotient :

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{5 \times 0{,}9^{n+1}}{5 \times 0{,}9^n} = 0{,}9 < 1$

Chaque terme vaut 90 % du précédent : la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

3. $w_{n+1} - w_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n = 2n - 4$. Ce signe change : $2n - 4 < 0$ pour $n \leq 1$, il s’annule pour $n = 2$, puis $2n - 4 > 0$ pour $n \geq 3$. La suite $(w_n)$ n’est donc ni croissante ni décroissante. Les premiers termes le confirment : $0$ ; $-4$ ; $-6$ ; $-6$ ; $-4$ ; $0$ ; $6$… — elle descend, puis remonte.

Réflexe à retenir : la différence $u_{n+1} - u_n$ marche toujours ; le quotient est réservé aux suites à termes strictement positifs (pratique quand la formule est un produit ou une puissance). Et conclus toujours « pour tout $n$ » — si le signe change, la suite n’est ni croissante ni décroissante.

1. $u_1 = 0{,}5 \times 12 + 2 = 8$ ; $u_2 = 0{,}5 \times 8 + 2 = 6$ ; $u_3 = 0{,}5 \times 6 + 2 = 5$ ; $u_4 = 0{,}5 \times 5 + 2 = 4{,}5$.

2. En poursuivant : $u_5 = 4{,}25$, $u_6 = 4{,}125$, $u_7 = 4{,}0625$… Les termes descendent en se rapprochant de plus en plus de $4$ : on conjecture que la suite a pour limite $4$. (À ce stade, c’est une observation, pas une démonstration.)

3. $u_1 = 0{,}5 \times 4 + 2 = 4$ : on retombe sur $4$, donc tous les termes valent $4$. La suite est constante — la valeur $4$ est un point d’équilibre de la règle de passage, ce qui rend la conjecture de la question 2 très crédible.

4. Pour $v_n = 3n^2 + 1$ : les termes ($1$ ; $4$ ; $13$ ; $28$…) finissent par dépasser n’importe quel plafond : on conjecture que $(v_n)$ tend vers $+\infty$. Pour $w_n = (-1)^n \times 2$ : les termes oscillent $2$ ; $-2$ ; $2$ ; $-2$… sans se stabiliser : $(w_n)$ n’a pas de limite.

Réflexe à retenir : pour conjecturer une limite, calcule des termes lointains ($u_{20}$, $u_{50}$, $u_{100}$) à la calculatrice ou au tableur, puis classe le comportement : les termes s’accumulent vers un nombre (limite finie), explosent (limite infinie) ou oscillent (pas de limite).