Résumé — Suites arithmétiques et variation linéaire

Un placement à intérêts simples, un abonnement qui augmente du même montant chaque année : quand une grandeur évolue en ajoutant toujours la même quantité, c’est la variation linéaire. Version discrète : les suites arithmétiques. Version continue : les fonctions affines.

Une suite, c’est quoi ?

Une suite $u$ associe un nombre $u(n)$ à chaque entier $n$ (le rang) : c’est une grandeur qui évolue étape par étape. On note aussi $u_n$ (notation indicielle) — $u_0$ est souvent la valeur de départ.

Les suites arithmétiques

Définition par récurrence, puis formule explicite

$u_{n+1} = u_n + r \qquad \text{et} \qquad u_n = u_0 + n \times r$

r est la raison : ce qu’on ajoute à chaque étape. La formule explicite donne directement le terme de rang n, sans calculer tous les précédents. (Si la suite démarre à u₁ : uₙ = u₁ + (n − 1) × r.)

Sens de variation : croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ .
Représentation graphique : les points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés — signature visuelle de la croissance linéaire.

Reconnaître une suite arithmétique

Calcule les différences entre termes consécutifs : si elles sont constantes, la suite est arithmétique de raison cette différence. Exemple : 12, 15, 18, 21 → différence constante 3 → arithmétique.

Les fonctions affines (rappel de 2de)

$f(x) = ax + b$

Représentation : une droite ; $a$ est le coefficient directeur (la pente), $b$ l’ordonnée à l’origine.
Le taux d’accroissement est constant et vaut $a$ : quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ varie de $a$ . C’est le parallèle continu de la raison $r$ .
Sens de variation : croissante si $a > 0$ , décroissante si $a < 0$ .

Résoudre un problème de seuil

« Au bout de combien d’étapes dépasse-t-on la valeur $S$ ? » : on traduit par une inéquation.

$u_0 + n \times r \geqslant S \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant \frac{S - u_0}{r} \quad (\text{pour } r > 0)$

puis on prend le premier entier qui convient. On peut aussi lire la réponse sur un graphique ou une table de valeurs (calculatrice, tableur).

Les pièges classiques

Linéaire ≠ exponentiel

Arithmétique : on ajoute la même quantité (différence constante). Géométrique : on multiplie par le même nombre (quotient constant) — c’est le chapitre suivant. Les intérêts simples relèvent du linéaire ; les intérêts composés, de l’exponentiel. Autre piège : $u_n = u_0 + n r$ compte $n$ ajouts depuis $u_0$ — ne confonds pas rang et nombre d’étapes.