Exercices — Suites arithmétiques et variation linéaire

1. $u_1 = u_0 + 3 = 8$, puis $u_2 = u_1 + 3 = 11$.

2. Formule explicite : $u_n = u_0 + n \times r = 5 + 3n$.

3. $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35$.

4. La raison $r = 3$ est positive : la suite est croissante (on ajoute $3$ à chaque étape).

Réflexe à retenir : la formule explicite $u_n = u_0 + nr$ te téléporte directement au rang $n$ — inutile de calculer les 9 termes précédents pour obtenir $u_{10}$.

1. Intérêts annuels : $800 \times 0{,}04 = 32$ €. On ajoute $32$ € chaque année : $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $800$ et de raison $32$ :

$u_n = 800 + 32n$

2. $u_5 = 800 + 32 \times 5 = 960$ €.

3. On résout : $800 + 32n \geqslant 1\ 000$, soit $32n \geqslant 200$, donc $n \geqslant \dfrac{200}{32} = 6{,}25$.

Le premier entier qui convient est $n = 7$ : le capital dépasse $1\ 000$ € au bout de 7 ans (vérification : $u_7 = 1\ 024$ € ✓, alors que $u_6 = 992$ €).

Réflexe à retenir : intérêts simples (toujours calculés sur le capital initial) = même montant ajouté chaque année = suite arithmétique. Les intérêts composés, eux, seront une suite géométrique.

1. $F = 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68\ ^\circ\text{F}$.

2. On résout : $1{,}8\,C + 32 = 50$, soit $1{,}8\,C = 18$, donc $C = 10\ ^\circ\text{C}$.

3. Quand la température augmente de $1\ ^\circ\text{C}$, elle augmente de $1{,}8\ ^\circ\text{F}$ : le coefficient directeur est le taux d’accroissement, constant pour une fonction affine.

4. Non : à cause de l’ordonnée à l’origine $b = 32 \neq 0$, le graphique ne passe pas par l’origine ($0\ ^\circ\text{C} = 32\ ^\circ\text{F}$). Affine ne veut pas dire proportionnel — seule une fonction linéaire ($F = a\,C$) traduirait une proportionnalité.

Réflexe à retenir : dans $f(x) = ax + b$, $a$ se lit « ce que gagne $f$ quand $x$ gagne 1 » et $b$ est la valeur de départ ($x = 0$).

1. Différences : $+150$, $+150$, $+150$ — constantes. Suite arithmétique de premier terme $1\ 200$ et de raison $150$.

2. Différences : $+10$, $+11$, $+12{,}10$ — pas constantes : ce n’est pas arithmétique. (Le quotient, lui, est constant : $\times 1{,}10$ à chaque étape — c’est une suite géométrique, typique des intérêts composés.)

3. Chaque heure, on retire $2$ cm : suite arithmétique de premier terme $25$ et de raison $-2$ ($u_n = 25 - 2n$, décroissante).

Réflexe à retenir : pour tester « arithmétique ? », calcule les différences successives ; pour tester « géométrique ? », calcule les quotients.

1. Chaque jour, le volume diminue de la même quantité ($60$ L) : $(u_n)$ est arithmétique de raison $-60$ :

$u_n = 2\ 400 - 60n$

2. $u_{15} = 2\ 400 - 60 \times 15 = 2\ 400 - 900 = 1\ 500$ L.

3. On résout : $2\ 400 - 60n < 300$, soit $60n > 2\ 100$, donc $n > 35$.

C’est à partir du 36ᵉ jour qu’il reste moins de $300$ L (vérification : $u_{35} = 300$ L exactement, $u_{36} = 240$ L ✓).

4. $2\ 400 - 60n = 0$ donne $n = \dfrac{2\ 400}{60} = 40$ : la citerne est vide au bout de 40 jours.

Réflexe à retenir : dans un problème de seuil, traduis la question en inéquation, résous, puis prends le premier entier qui convient — et vérifie avec les valeurs autour.