Probabilités conditionnelles et indépendance 1re : résumé de cours

Tests médicaux, jeux de hasard, sondages : ce chapitre apprend à raisonner quand une information change les probabilités. Le vocabulaire est nouveau, mais les calculs se font très bien avec un tableau ou un arbre.

La probabilité conditionnelle

Probabilité de A sachant B

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) \neq 0)$

On restreint l’univers aux cas où B est réalisé : parmi eux, quelle part réalise aussi A ?

Trois notations à ne jamais confondre

• $P(A \cap B)$ : probabilité que A et B se réalisent (parmi tout l’univers).
• $P_B(A)$ : probabilité de A sachant B (on se place parmi les cas où B est réalisé).
• $P_A(B)$ : probabilité de B sachant A — en général différente de $P_B(A)$ !

Tableaux croisés et arbres pondérés

Dans un tableau croisé d’effectifs, $P_B(A)$ se lit directement : effectif de la case $A \cap B$ divisé par le total de la ligne (ou colonne) de B.

Dans un arbre pondéré :

Les règles de l’arbre

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• Les branches du 2ᵉ niveau portent des probabilités conditionnelles.
• La probabilité d’un chemin = produit des probabilités de ses branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
• La probabilité d’un événement = somme des probabilités des chemins qui y mènent.

L’indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre :

$P_B(A) = P(A) \quad \Longleftrightarrow \quad P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

C’est la seconde égalité qu’on utilise le plus pour justifier une indépendance par le calcul.

Indépendants ≠ incompatibles

Incompatibles : A et B ne peuvent pas se produire ensemble ( $P(A \cap B) = 0$ ). Indépendants : l’un n’influence pas l’autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants !

Répéter une épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli n’a que deux issues : succès (probabilité $p$ ) ou échec (probabilité $1 - p$ ). Quand on la répète $n$ fois ( $n \leqslant 4$ ) de façon identique et indépendante, on représente la situation par un arbre et on multiplie le long des chemins :

$P(n \text{ succès}) = p^n$ , $\quad P(n \text{ échecs}) = (1-p)^n$ ;
« Au moins un succès » : passer par le contraire ! $P(\text{au moins un succès}) = 1 - (1-p)^n$ .

Le piège du test médical

Faux positifs : l’erreur de raisonnement classique

« Le test est fiable à 95 %, je suis positif, donc j’ai 95 % de chances d’être malade » : faux. La fiabilité donne $P_{\text{malade}}(\text{positif})$ , pas $P_{\text{positif}}(\text{malade})$ . Si la maladie est rare, la plupart des positifs sont des faux positifs — refais toujours le calcul avec un tableau d’effectifs.

Résumé — Probabilités conditionnelles et indépendance