Équation différentielle du second ordre 1re année : exercices corrigés (PDF)

Les équations différentielles du second ordre, ou d’ordre 2, sont au programme de la première année de prépa scientifique, et on les retrouve en licence, en BUT ou en BTS selon les filières. Celles que l’on résout en première année sont linéaires et à coefficients constants : elles s’écrivent $ay'' + by' + cy = f(x)$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ , $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ , et l’inconnue $y$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$ . Le terme $f(x)$ est le second membre ; quand il est nul, l’équation est dite homogène.

Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?

La méthode tient en quatre étapes, dans cet ordre.

Écrire l’équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ , puis calculer son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Résoudre l’équation homogène $ay'' + by' + cy = 0$ : selon le signe de $\Delta$ , ses solutions s’écrivent avec deux exponentielles, avec une exponentielle multipliée par $\lambda x + \mu$ , ou avec une exponentielle multipliée par un cosinus et un sinus (le tableau de la carte ci-dessous).
Chercher une solution particulière $y_p$ de la même forme que le second membre : une constante, un polynôme, une exponentielle, dans les conditions rappelées par la carte.
Additionner, puis utiliser les conditions initiales : les solutions sont les fonctions $y_p + y_h$ , où $y_h$ parcourt les solutions de l’équation homogène, et deux conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$ donnent un système qui fixe les deux constantes. Une équation accompagnée de ses conditions initiales s’appelle un problème de Cauchy.

Les trois premiers exercices vérifient que ces étapes sont comprises, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants se rédigent, avec un corrigé détaillé comme au tableau : une équation homogène dont l’équation caractéristique a des racines complexes, avec deux conditions initiales, puis un problème complet avec second membre, à partir d’une courbe, comme en devoir surveillé.

Équation différentielle du second ordre : l’essentiel

1L’équation caractéristique

L’équation $ay'' + by' + cy = f(x)$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels et $a \neq 0$ , a pour équation homogène associée $ay'' + by' + cy = 0$ . En y cherchant des solutions $x \mapsto \mathrm{e}^{rx}$ , chaque dérivée devient une puissance de $r$ :

$y'' \longrightarrow r^2$ $y' \longrightarrow r$ $y \longrightarrow 1$

$ar^2 + br + c = 0$ $\Delta = b^2 - 4ac$

2Les solutions de l’équation homogène, selon le signe de $\Delta$

$\Delta \gt 0$

deux racines réelles
$r_1$ et $r_2$

$\lambda\,\mathrm{e}^{r_1 x} + \mu\,\mathrm{e}^{r_2 x}$

$\Delta = 0$

une racine double
$r_0 = -\dfrac{b}{2a}$

$(\lambda x + \mu)\,\mathrm{e}^{r_0 x}$

$\Delta \lt 0$

deux racines complexes conjuguées
$\alpha \pm \mathrm{i}\beta$ , avec $\beta \gt 0$

$\mathrm{e}^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x) + \mu\sin(\beta x)\big)$

Dans les trois cas, $\lambda$ et $\mu$ sont deux constantes : les solutions s’écrivent « pour tous réels $\lambda$ et $\mu$ ».

3Avec un second membre

Les solutions sont les fonctions $y_p + y_h$ : une solution particulière $y_p$ , plus les solutions $y_h$ de l’équation homogène. On cherche $y_p$ de la forme du second membre, puis on identifie les coefficients :

une constante $k$ appelle une constante, si $c \neq 0$ ;
un polynôme de degré $n$ appelle un polynôme de degré $n$ ,si $c \neq 0$ ;
$k\,\mathrm{e}^{mx}$ appelle $A\,\mathrm{e}^{mx}$ , si $m$ n’est pas racine de l’équation caractéristique.

Si $m$ est racine, ou si $c = 0$ , la forme change : ce sont d’autres cas du cours.

4Deux conditions initiales

Les conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$ désignent une seule solution. On les écrit sur la solution complète $y_p + y_h$ , dérivée en entier : elles donnent un système de deux équations, d’inconnues $\lambda$ et $\mu$ .

Les conditions initiales portent sur la solution complète : on ajoute $y_p$ avant de les écrire.

La carte du chapitre, dans l’ordre de la méthode : équation caractéristique, équation homogène, solution particulière, conditions initiales.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

La méthode en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, on commence par l'équation , obtenue en remplaçant le second membre par zéro. On y cherche des solutions , ce qui conduit à l'équation caractéristique, une équation du . Si son discriminant est strictement positif, les solutions s'écrivent avec . S'il est nul, la racine est double, et les solutions s'écrivent comme une exponentielle multipliée par . S'il est strictement négatif, les racines sont , et les solutions réelles font apparaître . Dans les trois cas, les solutions de l'équation homogène dépendent de . On cherche ensuite une solution particulière : un polynôme pour un polynôme quand le coefficient de y n'est pas nul, une exponentielle pour une exponentielle tant que le coefficient de x dans l'exposant n'est pas . Les solutions de l'équation complète sont les de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène. Enfin, les deux conditions initiales s'écrivent sur , ce qui donne un système de .

Exercice 4

Des racines complexes et deux conditions initiales

★★★

Une équation homogène, de l'équation caractéristique à la solution

On considère l’équation différentielle (E) : $y'' + 4y' + 13y = 0$ , où l’inconnue $y$ est une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Écrire l’équation caractéristique de (E) et calculer son discriminant.
En déduire les racines de l’équation caractéristique, puis les solutions réelles de (E).
Soit $y$ une solution de (E). Calculer $y'(x)$ , puis exprimer $y(0)$ et $y'(0)$ en fonction des constantes $\lambda$ et $\mu$ de la question 2.
Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$ .

Voir le corrigé

1. On remplace $y''$ par $r^2$ , $y'$ par $r$ et $y$ par $1$ : l’équation caractéristique de (E) est $r^2 + 4r + 13 = 0$ . Ses coefficients sont $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 13$ , donc son discriminant vaut :

$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 13 = -36$

Le discriminant est strictement négatif.

2. Comme $\Delta \lt 0$ , l’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées. Elles s’obtiennent comme au lycée, en remplaçant $\sqrt{\Delta}$ par $\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}$ , dont le carré vaut $\Delta$ puisque $\mathrm{i}^2 = -1$ : ce sont les nombres $\dfrac{-b \pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , avec ici $\sqrt{-\Delta} = \sqrt{36} = 6$ :

$r = \dfrac{-4 \pm 6\,\mathrm{i}}{2} = -2 \pm 3\,\mathrm{i}$

Elles s’écrivent $\alpha \pm \mathrm{i}\beta$ avec $\alpha = -2$ et $\beta = 3$ . Les solutions réelles de (E) sont donc les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = \mathrm{e}^{-2x}\big(\lambda\cos(3x) + \mu\sin(3x)\big)$ , pour tous réels $\lambda$ et $\mu$ .

3. Soit $y$ une solution de (E) : il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout réel $x$ , $y(x) = \mathrm{e}^{-2x}u(x)$ , en notant $u(x) = \lambda\cos(3x) + \mu\sin(3x)$ . Les dérivées de $\cos(3x)$ et de $\sin(3x)$ sont $-3\sin(3x)$ et $3\cos(3x)$ , donc $u'(x) = -3\lambda\sin(3x) + 3\mu\cos(3x)$ . La dérivée de $\mathrm{e}^{-2x}$ est $-2\,\mathrm{e}^{-2x}$ , et la dérivée d’un produit donne $y'(x) = -2\,\mathrm{e}^{-2x}u(x) + \mathrm{e}^{-2x}u'(x)$ , soit, en mettant l’exponentielle en facteur :

$y'(x) = \mathrm{e}^{-2x}\big(u'(x) - 2u(x)\big)$

En $x = 0$ , on a $\mathrm{e}^{0} = 1$ , $\cos(0) = 1$ et $\sin(0) = 0$ , donc $u(0) = \lambda$ et $u'(0) = 3\mu$ :

$\begin{aligned} y(0) &= \lambda \\ y'(0) &= 3\mu - 2\lambda \end{aligned}$

4. D’après la question 3, les conditions $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$ s’écrivent :

$\begin{cases} \lambda = 2 \\ 3\mu - 2\lambda = -1 \end{cases}$

La première équation donne $\lambda = 2$ ; la seconde devient $3\mu - 4 = -1$ , soit $3\mu = 3$ et $\mu = 1$ . Le système a une seule solution : la solution cherchée est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{-2x}\big(2\cos(3x) + \sin(3x)\big)$ .

Contrôle : $f(0) = 2\cos(0) + \sin(0) = 2$ et, avec $\lambda = 2$ et $\mu = 1$ , $f'(0) = 3 \times 1 - 2 \times 2 = -1$ . Les deux conditions sont vérifiées.

Réflexe à retenir : quand $\Delta \lt 0$ , la partie réelle $\alpha$ des racines va dans l’exponentielle et la partie imaginaire $\beta$ dans le cosinus et le sinus. Pour dériver, garde l’exponentielle en facteur : si $y(x) = \mathrm{e}^{\alpha x}u(x)$ , alors $y'(x) = \mathrm{e}^{\alpha x}\big(u'(x) + \alpha\,u(x)\big)$ .

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Un problème de Cauchy avec second membre, lu sur une courbe

★★★

Type contrôle, avec une courbe à exploiter

On considère l’équation différentielle (E) : $y'' + 4y' + 3y = 6x + 11$ , où l’inconnue $y$ est une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . Le document ci-dessous représente une solution $f$ de (E), avec sa tangente $T$ au point d’abscisse $0$ .

Document. La courbe

\mathcal{C}_f

de la solution

f

et sa tangente

T

au point d’abscisse

0

Lire sur le document $f(0)$ et $f'(0)$ , en justifiant la lecture de $f'(0)$ .
Résoudre l’équation homogène associée à (E).
Justifier que l’on peut chercher une solution particulière de (E) de la forme $x \mapsto Ax + B$ , puis déterminer les réels $A$ et $B$ .
En déduire toutes les solutions de (E).
Déterminer l’expression de $f(x)$ .
Sur le document, la courbe de $f$ semble se rapprocher d’une droite $D$ quand $x$ devient grand. Donner une équation de $D$ , puis démontrer que l’écart entre la courbe et $D$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Voir le corrigé

1. La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(0\,;\,3)$ , donc $f(0) = 3$ . Le nombre dérivé $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ au point d’abscisse $0$ . Sur le document, $T$ passe par les points de coordonnées $(0\,;\,3)$ et $(1\,;\,1)$ , donc :

$f'(0) = \dfrac{1 - 3}{1 - 0} = -2$

2. L’équation homogène associée à (E) est $y'' + 4y' + 3y = 0$ . Son équation caractéristique est $r^2 + 4r + 3 = 0$ , de discriminant :

$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4$

Comme $\Delta \gt 0$ , elle a deux racines réelles distinctes, avec $\sqrt{\Delta} = 2$ : $r_1 = \dfrac{-4 + 2}{2} = -1$ et $r_2 = \dfrac{-4 - 2}{2} = -3$ . Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions $y_h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $y_h(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{-x} + \mu\,\mathrm{e}^{-3x}$ , pour tous réels $\lambda$ et $\mu$ .

3. Le second membre $6x + 11$ est un polynôme de degré 1, et le coefficient de $y$ dans (E), $3$ , n’est pas nul : on cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = Ax + B$ , avec $A$ et $B$ réels. Ses dérivées sont $y_p'(x) = A$ et $y_p''(x) = 0$ . En remplaçant $y_p''(x)$ par $0$ , $y_p'(x)$ par $A$ et $y_p(x)$ par $Ax + B$ dans (E), la fonction $y_p$ est solution de (E) si, et seulement si, pour tout réel $x$ :

$4A + 3(Ax + B) = 6x + 11$

c’est-à-dire $3Ax + 4A + 3B = 6x + 11$ . Deux fonctions affines égales sur $\mathbb{R}$ ont le même coefficient de $x$ et le même terme constant :

$\begin{cases} 3A = 6 \\ 4A + 3B = 11 \end{cases}$

La première équation donne $A = 2$ , puis $8 + 3B = 11$ , soit $B = 1$ . La fonction $y_p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y_p(x) = 2x + 1$ est une solution particulière de (E). Contrôle : $4 \times 2 + 3(2x + 1) = 8 + 6x + 3 = 6x + 11$ .

4. Les solutions de (E) sont les sommes de la solution particulière $y_p$ et des solutions de l’équation homogène : ce sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par

$y(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{-x} + \mu\,\mathrm{e}^{-3x} + 2x + 1$

pour tous réels $\lambda$ et $\mu$ .

5. La fonction $f$ est l’une de ces solutions : il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout réel $x$ , $f(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{-x} + \mu\,\mathrm{e}^{-3x} + 2x + 1$ . On dérive la solution complète, $2x + 1$ compris :

$f'(x) = -\lambda\,\mathrm{e}^{-x} - 3\mu\,\mathrm{e}^{-3x} + 2$

En $x = 0$ , $\mathrm{e}^{0} = 1$ , donc $f(0) = \lambda + \mu + 1$ et $f'(0) = -\lambda - 3\mu + 2$ . Avec les valeurs lues à la question 1 :

$\begin{cases} \lambda + \mu + 1 = 3 \\ -\lambda - 3\mu + 2 = -2 \end{cases}$

soit $\lambda + \mu = 2$ et $\lambda + 3\mu = 4$ . En retranchant la première équation de la seconde, on obtient $(\lambda + 3\mu) - (\lambda + \mu) = 4 - 2$ , soit $2\mu = 2$ , donc $\mu = 1$ , puis $\lambda = 2 - 1 = 1$ . Ainsi, pour tout réel $x$ :

$f(x) = \mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-3x} + 2x + 1$

Contrôle : $f(0) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3$ et $f'(0) = -1 - 3 + 2 = -2$ , les deux valeurs lues sur le document.

6. Pour $x$ grand, les termes $\mathrm{e}^{-x}$ et $\mathrm{e}^{-3x}$ de $f(x)$ deviennent très petits : la droite cherchée est la droite $D$ d’équation $y = 2x + 1$ , courbe de la solution particulière $y_p$ . Pour le démontrer, on étudie l’écart entre la courbe et la droite : pour tout réel $x$ ,

$f(x) - (2x + 1) = \mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-3x}$

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $-x$ et $-3x$ tendent vers $-\infty$ , donc $\mathrm{e}^{-x}$ et $\mathrm{e}^{-3x}$ tendent vers $0$ : l’écart $f(x) - (2x + 1)$ tend vers $0$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche donc de la droite $D$ d’équation $y = 2x + 1$ ; on dit que $D$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ . Les deux racines $-1$ et $-3$ sont strictement négatives : la partie homogène s’efface quand $x$ grandit, et il reste la solution particulière.

La courbe de

f

et la droite

D

d’équation

y = 2x + 1

: l’écart

f(x) - (2x + 1)

vaut

\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-3x}

et tend vers

0

Réflexe à retenir : les conditions initiales s’écrivent sur la solution complète. On dérive $y_p + y_h$ en entier, on remplace $x$ par $0$ , puis on résout le système en $\lambda$ et $\mu$ . Et quand les racines sont strictement négatives, la partie homogène tend vers $0$ : pour $x$ grand, la solution ressemble à la solution particulière.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

L’équation caractéristique d’abord. $y''$ devient $r^2$ , $y'$ devient $r$ et $y$ devient $1$ . Le signe de $\Delta$ décide ensuite de la forme des solutions de l’équation homogène, qui dépendent de deux constantes $\lambda$ et $\mu$ dans les trois cas.
Une solution particulière qui ressemble au second membre. Une constante, un polynôme du même degré quand $c \neq 0$ , ou $A\,\mathrm{e}^{mx}$ pour $k\,\mathrm{e}^{mx}$ quand $m$ n’est pas racine de l’équation caractéristique : on remplace dans l’équation, puis on identifie les coefficients.
Les conditions initiales sur la solution complète. On dérive $y_p + y_h$ en entier, on remplace $x$ par $x_0$ , on résout le système en $\lambda$ et $\mu$ , puis on contrôle les deux conditions sur la fonction trouvée.

Il reste d’autres cas : les seconds membres en cosinus ou en sinus, le cas où $m$ est racine de l’équation caractéristique, et les équations de la physique. Le premier ordre a ses propres exercices corrigés, et la page du chapitre réunit le résumé du cours.

Exercices corrigés — Équation différentielle du second ordre