Équation différentielle du premier ordre 1re année : exercices corrigés (PDF)

Une équation différentielle du premier ordre relie une fonction inconnue $y$ à sa dérivée $y'$ : on ne cherche plus un nombre, mais une fonction, et même toute une famille de fonctions. Après le bac, ces équations d’ordre 1 reviennent dès qu’une grandeur varie à une vitesse qui dépend de sa valeur : la masse de sel dans une cuve, la quantité de polluant dans un lac, l’effectif d’une population de poissons soumise à la pêche. Pour en résoudre une avec second membre, la méthode se fait en trois temps, dans cet ordre : l’équation homogène, une solution particulière, puis la condition initiale. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants se rédigent, avec un corrigé détaillé comme au tableau : un second membre polynôme avec une condition initiale, puis une cuve d’eau salée à mettre en équation, comme en devoir surveillé.

Équation différentielle du premier ordre : l’essentiel

Une équation, une famille de solutions

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit $y' + a(x)\,y = b(x)$ : l’inconnue est une fonction $y$ , dérivable sur un intervalle $I$ , et l’égalité doit être vraie pour tout $x$ de $I$ . Le terme $b(x)$ est le second membre ; quand il est nul, l’équation est dite homogène.

Ses solutions forment une famille qui dépend d’une constante réelle $\lambda$ . Par exemple, les solutions de $y' + y = 2$ sont les fonctions :

$y(x) = 2 + \lambda\mathrm{e}^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$

Une condition initiale, comme $y(0) = 0$ , ne garde qu’une courbe : celle de $\lambda = -2$ .

Sur un intervalle où $a$ et $b$ sont continues, une condition $y(x_0) = y_0$ , avec $x_0$ dans $I$ , désigne une seule solution.

En gris, les courbes de $\lambda = 2$ , $1$ et $-1$ ; en pointillés, la solution particulière $y_p(x) = 2$ ; en bleu, la seule courbe qui passe par l’origine.

1. L’équation homogène

On divise d’abord par le coefficient de $y'$ s’il ne vaut pas $1$ . Les solutions de $y' + ay = 0$ , avec $a$ constant, sont les fonctions :

$x \mapsto \lambda\mathrm{e}^{-ax}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$

Attention au signe : $y' = ky$ s’écrit $y' - ky = 0$ , donc $a = -k$ et les solutions sont les fonctions $x \mapsto \lambda\mathrm{e}^{kx}$ .

Si le coefficient dépend de $x$ , les solutions de $y' + a(x)\,y = 0$ sont les fonctions $x \mapsto \lambda\mathrm{e}^{-A(x)}$ , où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$ (avec $a$ continue sur $I$ ).

2. Une solution particulière

Pour $y' + ay = b(x)$ , avec $a$ constant non nul, on la cherche d’après la forme du second membre :

une constante $b$ : la fonction constante égale à $\dfrac{b}{a}$ ;
un polynôme de degré $n$ : un polynôme de degré $n$ , dont on trouve les coefficients $A$ , $B$ , $C$ … par identification ;
$k\mathrm{e}^{mx}$ , avec $m$ différent de $-a$ : la fonction $x \mapsto A\mathrm{e}^{mx}$ .

Quand aucune solution particulière n’est évidente, la méthode de la variation de la constante en fournit une.

3. Toutes les solutions, puis la condition initiale

Toutes les solutions s’obtiennent en ajoutant une solution particulière $y_p$ aux solutions de l’équation homogène. Avec $a$ constant :

$y(x) = y_p(x) + \lambda\mathrm{e}^{-ax}$

On applique ensuite la condition initiale à cette expression complète : elle fixe la valeur de $\lambda$ .

La condition initiale s’applique après avoir ajouté la solution particulière.

Pour $y' + y = 2$ et $y(0) = 0$ : $2 + \lambda = 0$ , donc $\lambda = -2$ . En l’appliquant à $\lambda\mathrm{e}^{-x}$ seule, on trouverait $\lambda = 0$ , c’est-à-dire la droite d’équation $y = 2$ , qui ne passe pas par l’origine.

La carte du chapitre. Trois étapes, dans cet ordre : l’équation homogène, une solution particulière, puis la condition initiale.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

La méthode de résolution en un paragraphe

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Le cours en un texte à trous

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit $y' + a(x)\,y = b(x)$ sur un intervalle. La résoudre, c'est trouver . L'équation homogène associée s'obtient en remplaçant le second membre par . Quand le coefficient $a$ est une constante, les solutions de l'équation homogène sont les produits d'une constante $\lambda$ par ; quand il dépend de $x$ , l'exposant fait intervenir . Avec un second membre, on obtient toutes les solutions en ajoutant aux solutions de l'équation homogène . Si le second membre est une constante, on cherche une solution particulière ; si c'est un polynôme de degré 2, on cherche , dont on trouve les coefficients . Enfin, la condition initiale fixe , et on l'applique .

Exercice 4

Second membre polynôme et condition initiale

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Application directe : identification, puis condition initiale

On considère l’équation différentielle $(E) : y' - 2y = 2x^2 + 1$ , d’inconnue $y$ , fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation homogène associée $(H) : y' - 2y = 0$ .
Déterminer trois réels $A$ , $B$ et $C$ tels que la fonction $y_p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$ soit solution de $(E)$ .
En déduire l’ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 0$ , puis vérifier le résultat.

Voir le corrigé

1. L’équation $(H)$ est de la forme $y' + ay = 0$ avec $a = -2$ : attention au signe, le coefficient de $y$ vaut $-2$ . Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto \lambda\mathrm{e}^{-ax}$ . On les note $y_h$ , avec un h pour « homogène » :

$y_h(x) = \lambda\mathrm{e}^{2x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$

Contrôle : $y_h'(x) = 2\lambda\mathrm{e}^{2x}$ , donc $y_h'(x) - 2y_h(x) = 2\lambda\mathrm{e}^{2x} - 2\lambda\mathrm{e}^{2x} = 0$ . L’écriture $\lambda\mathrm{e}^{-2x}$ serait fausse : pour $g(x) = \lambda\mathrm{e}^{-2x}$ , on trouve $g'(x) - 2g(x) = -4\lambda\mathrm{e}^{-2x}$ , qui n’est pas nul dès que $\lambda$ n’est pas nul.

2. Le second membre est un polynôme de degré 2 : on cherche une solution particulière de même degré, $y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$ , dont la dérivée est $y_p'(x) = 2Ax + B$ . On remplace dans le membre de gauche de $(E)$ , puis on regroupe selon les puissances de $x$ : $y_p'(x) - 2y_p(x) = 2Ax + B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C$ , soit $y_p'(x) - 2y_p(x) = -2Ax^2 + (2A - 2B)x + B - 2C$ .

La fonction $y_p$ est solution de $(E)$ si, pour tout réel $x$ , cette expression est égale à $2x^2 + 0x + 1$ . Deux polynômes sont égaux pour tout réel $x$ si, et seulement si, leurs coefficients sont égaux : on identifie le coefficient de $x^2$ , celui de $x$ et le terme constant.

$\begin{cases} -2A = 2 \\ 2A - 2B = 0 \\ B - 2C = 1 \end{cases}$

La première équation donne $A = -1$ , la deuxième $B = A = -1$ , et la troisième devient $-1 - 2C = 1$ , soit $C = -1$ . Donc :

$y_p(x) = -x^2 - x - 1$

Le second membre n’a pas de terme en $x$ , et pourtant $B = -1$ : c’est pour cela qu’on garde $Bx$ dans la forme cherchée. Contrôle : $y_p'(x) = -2x - 1$ , et $y_p'(x) - 2y_p(x) = -2x - 1 + 2x^2 + 2x + 2 = 2x^2 + 1$ .

3. Les solutions de $(E)$ s’obtiennent en ajoutant la solution particulière aux solutions de l’équation homogène : si $y$ est une solution de $(E)$ , la différence $y - y_p$ vérifie $(y - y_p)' - 2(y - y_p) = (2x^2 + 1) - (2x^2 + 1) = 0$ , c’est une solution de $(H)$ . Réciproquement, en ajoutant à $y_p$ une solution de $(H)$ , on obtient une solution de $(E)$ . Les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont donc les fonctions

$y(x) = -x^2 - x - 1 + \lambda\mathrm{e}^{2x}$

où $\lambda$ est un réel quelconque.

4. La condition porte sur la solution complète, que l’on évalue en $0$ : $f(0) = -0^2 - 0 - 1 + \lambda\mathrm{e}^{0} = \lambda - 1$ . La condition $f(0) = 0$ donne $\lambda - 1 = 0$ , soit $\lambda = 1$ :

$f(x) = \mathrm{e}^{2x} - x^2 - x - 1$

Vérification : $f'(x) = 2\mathrm{e}^{2x} - 2x - 1$ , puis $f'(x) - 2f(x) = 2\mathrm{e}^{2x} - 2x - 1 - 2\mathrm{e}^{2x} + 2x^2 + 2x + 2 = 2x^2 + 1$ , et $f(0) = \mathrm{e}^{0} - 0 - 0 - 1 = 0$ . Appliquer la condition à $\lambda\mathrm{e}^{2x}$ seule aurait donné $\lambda = 0$ , et la fonction $x \mapsto -x^2 - x - 1$ , qui vaut $-1$ en $0$ .

Réflexe à retenir : l’équation homogène, puis une solution particulière, puis la condition initiale, dans cet ordre. Une ligne de vérification à la fin, en remplaçant dans l’équation, suffit à repérer une erreur de signe.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Une cuve d'eau salée

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Type devoir surveillé, avec un document à exploiter

Une cuve contient 500 litres d’eau salée, à la concentration de 6 grammes de sel par litre. Pour l’amener à au moins 25 grammes par litre, un technicien y fait arriver, à partir de l’instant $t = 0$ , de l’eau salée à 30 grammes par litre, au débit de 10 litres par minute. Un agitateur rend le mélange homogène à chaque instant, et un trop-plein évacue le mélange au même débit : le volume reste égal à 500 litres.

Document. La cuve de mélange : il sort chaque minute autant d’eau qu’il en arrive, et le volume reste égal à 500 L.

On note $M(t)$ la masse de sel dissous dans la cuve, en grammes, au bout de $t$ minutes, et $c(t)$ la concentration du mélange, en grammes par litre. On admet que la vitesse de variation $M'(t)$ est égale à la masse de sel qui entre par minute, moins la masse de sel qui sort par minute.

Exprimer $c(t)$ en fonction de $M(t)$ . Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$ , $M'(t) = 300 - \dfrac{M(t)}{50}$ .
En déduire que $M$ est solution sur $[0\,;\,+\infty[$ de l’équation $(E) : y' + \dfrac{1}{50}\,y = 300$ , puis résoudre $(E)$ .
Déterminer $M(t)$ , puis montrer que $c(t) = 30 - 24\,\mathrm{e}^{-t/50}$ .
Déterminer la limite de $c(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$ , et interpréter ce résultat.
Au bout de combien de temps la concentration atteint-elle 25 grammes par litre ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à la minute près.

Voir le corrigé

1. La concentration est la masse de sel divisée par le volume du mélange, qui reste égal à 500 litres : $c(t) = \dfrac{M(t)}{500}$ , en grammes par litre. Il arrive 10 litres par minute d’eau salée à 30 grammes par litre : le sel entre au rythme de $10\ \mathrm{L/min} \times 30\ \mathrm{g/L} = 300\ \mathrm{g/min}$ . Il sort aussi 10 litres par minute du mélange, qui est homogène : ce mélange a la concentration $c(t)$ de la cuve, et le sel sort au rythme de $10 \times \dfrac{M(t)}{500} = \dfrac{M(t)}{50}$ grammes par minute. La vitesse de variation est la différence des deux, donc pour tout $t \geqslant 0$ :

$M'(t) = 300 - \dfrac{M(t)}{50}$

2. En passant le terme en $M(t)$ à gauche, on obtient $M'(t) + \dfrac{1}{50}\,M(t) = 300$ pour tout $t \geqslant 0$ : $M$ est solution de $(E)$ , de la forme $y' + ay = b$ avec $a = \dfrac{1}{50}$ et $b = 300$ , deux constantes.

Équation homogène : ses solutions sont les fonctions $t \mapsto \lambda\mathrm{e}^{-t/50}$ , car $-at = -\dfrac{t}{50}$ . Solution particulière : le second membre est constant, on cherche une fonction constante, égale à $\dfrac{b}{a} = 300 \times 50 = 15\,000$ . Contrôle : $0 + \dfrac{15\,000}{50} = 300$ . Les solutions de $(E)$ sur $[0\,;\,+\infty[$ sont donc les fonctions

$y(t) = 15\,000 + \lambda\mathrm{e}^{-t/50}$

où $\lambda$ est un réel quelconque.

3. Au départ, la cuve contient 500 litres à 6 grammes par litre, soit 3 000 grammes de sel : $M(0) = 500 \times 6 = 3\,000$ . La condition initiale porte sur la solution complète : $M(0) = 15\,000 + \lambda = 3\,000$ , donc $\lambda = -12\,000$ , et pour tout $t \geqslant 0$ :

$M(t) = 15\,000 - 12\,000\,\mathrm{e}^{-t/50}$

On en déduit la concentration, en grammes par litre :

$c(t) = \dfrac{M(t)}{500} = 30 - 24\,\mathrm{e}^{-t/50}$

4. Quand $t$ tend vers $+\infty$ , $-\dfrac{t}{50}$ tend vers $-\infty$ , donc $\mathrm{e}^{-t/50}$ tend vers $0$ et $c(t)$ tend vers $30$ . Interprétation : à long terme, la cuve a la concentration de l’eau qui arrive, 30 grammes par litre ; l’eau du départ a été remplacée peu à peu. De plus, $24\,\mathrm{e}^{-t/50} \gt 0$ , donc $c(t) \lt 30$ pour tout $t \geqslant 0$ : la concentration se rapproche de 30 grammes par litre sans jamais l’atteindre.

5. La fonction $c$ est croissante, car $c'(t) = \dfrac{24}{50}\,\mathrm{e}^{-t/50} \gt 0$ : elle atteint 25 grammes par litre à un seul instant, solution de $c(t) = 25$ . On résout cette équation : $30 - 24\,\mathrm{e}^{-t/50} = 25 \iff \mathrm{e}^{-t/50} = \dfrac{5}{24}$ , puis $\mathrm{e}^{-t/50} = \dfrac{5}{24} \iff -\dfrac{t}{50} = \ln\left(\dfrac{5}{24}\right) \iff t = 50\ln\left(\dfrac{24}{5}\right)$ . La dernière étape utilise $\ln\left(\dfrac{5}{24}\right) = -\ln\left(\dfrac{24}{5}\right)$ . Comme $\dfrac{24}{5} = 4{,}8$ , on obtient $t = 50\ln(4{,}8) \approx 78{,}4$ : la concentration atteint 25 grammes par litre au bout d’environ 78 minutes.

La concentration part de

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, franchit le seuil de 25 g/L vers

t \approx 78

, puis se rapproche de 30 g/L sans l’atteindre.

Pour aller plus loin : avec un débit de 20 litres par minute, l’équation devient $y' + \dfrac{1}{25}\,y = 600$ . La limite reste $15\,000$ grammes, soit 30 grammes par litre, mais l’instant cherché devient $25\ln(4{,}8) \approx 39{,}2$ , environ deux fois plus tôt : le débit règle la vitesse du mélange, pas la concentration finale.

Réflexe à retenir : dans un problème concret, la mise en équation vient d’un bilan, ce qui entre moins ce qui sort. Ensuite, la méthode est celle de l’exercice 4, et la limite se contrôle avec le bon sens : ici, la concentration de l’eau qui arrive.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Mets l’équation sous la forme $y' + ay = b(x)$ avant de lire $a$ . Divise par le coefficient de $y'$ et passe tout ce qui contient $y$ à gauche : le signe de $a$ donne celui de l’exposant, et $y' = ky$ a pour solutions $\lambda\mathrm{e}^{kx}$ .
La forme de la solution particulière suit le second membre. Une constante, un polynôme complet de même degré, ou $A\mathrm{e}^{mx}$ quand $m$ est différent de $-a$ : on remplace dans l’équation, on identifie les coefficients, puis on vérifie le résultat.
La condition initiale en dernier, sur la solution complète. Elle s’applique à $y_p + \lambda\mathrm{e}^{-ax}$ , et non à $\lambda\mathrm{e}^{-ax}$ seule : c’est elle qui fixe la valeur de $\lambda$ .

La suite du chapitre, avec les exercices sur les équations différentielles du second ordre, reprend la même structure, avec une équation caractéristique pour l’équation homogène.

Exercices corrigés — Équation différentielle du premier ordre

Reconnaître l'équation, résoudre l'équation homogène

Avec un second membre : la bonne forme, puis la condition