Équations différentielles

En première année, prépa, licence ou BUT, les équations différentielles servent partout : un circuit électrique, un ressort, un objet qui refroidit se décrivent par une équation dont l’inconnue est une fonction. Ce résumé rassemble les résultats du cours sur les équations linéaires d’ordre 1 et 2, et la méthode qui les relie.

Le vocabulaire

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ à ses dérivées. L’écriture $y' + 2y = 6$ veut dire : pour tout $x$ de l’intervalle $I$, $y'(x) + 2y(x) = 6$. Une solution est une fonction dérivable sur $I$ qui rend l’égalité vraie pour tout $x$ de $I$ ; résoudre, c’est trouver toutes les solutions.

• L’ordre est celui de la dérivée la plus haute.
• L’équation est linéaire quand $y$, $y'$ et $y''$ n’y apparaissent qu’au premier degré ($y' = y^2$ ne l’est pas).
• Le second membre est le terme sans $y$ ; l’équation est homogène quand il est nul.
• Un problème de Cauchy ajoute une condition $y(x_0) = y_0$ à l’ordre 1, deux conditions $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$ à l’ordre 2 : il a alors une solution, et une seule (théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, admis en première année).

Le premier ordre : $y' + a(x)y = b(x)$

Avec $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$, et $A$ une primitive de $a$ sur $I$ :

• les solutions de l’équation homogène sont les fonctions $x \mapsto \lambda\,\mathrm{e}^{-A(x)}$, pour $\lambda$ réel ; quand $a$ est une constante, ce sont les $x \mapsto \lambda\,\mathrm{e}^{-ax}$ ;
• une solution particulière se trouve à vue (une constante, comme la valeur d’équilibre), par identification quand le second membre est un polynôme ou une exponentielle, ou par la méthode de la variation de la constante dans les autres cas ;
• si l’équation s’écrit $\alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma(x)$, on divise d’abord par $\alpha(x)$, sur chaque intervalle où $\alpha$ ne s’annule pas.

Attention au signe : la forme de terminale $y' = ay$ s’écrit $y' - ay = 0$, et ses solutions sont les $x \mapsto \lambda\,\mathrm{e}^{ax}$.

Le second ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = f(x)$

En cherchant des solutions de la forme $x \mapsto \mathrm{e}^{rx}$, on tombe sur l’équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$, de discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Les solutions réelles de l’équation homogène dépendent du signe de $\Delta$ ($\lambda$ et $\mu$ réels) :

Discriminant	Racines	Solutions de l’équation homogène
$\Delta \gt 0$	deux racines réelles $r_1$ et $r_2$	$\lambda\,\mathrm{e}^{r_1 x} + \mu\,\mathrm{e}^{r_2 x}$
$\Delta = 0$	une racine double $r_0 = -\dfrac{b}{2a}$	$(\lambda x + \mu)\,\mathrm{e}^{r_0 x}$
$\Delta \lt 0$	deux racines complexes $\alpha \pm \mathrm{i}\beta$	$\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\lambda\cos(\beta x) + \mu\sin(\beta x)\right)$

Pour la solution particulière, la forme à essayer dépend du second membre : un polynôme appelle un polynôme, $k\,\mathrm{e}^{mx}$ appelle $A\,\mathrm{e}^{mx}$ si $m$ n’est pas racine de l’équation caractéristique (et $Ax\,\mathrm{e}^{mx}$ ou $Ax^2\mathrm{e}^{mx}$ s’il est racine simple ou double), un cosinus ou un sinus appelle $A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$. Quand le second membre est une somme, on additionne les solutions particulières (principe de superposition).

Le lien avec la physique

Une loi de la physique qui relie une grandeur à sa vitesse de variation donne une équation différentielle. Au premier ordre, la forme canonique $\tau\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y = y_\infty$ fait apparaître un temps caractéristique $\tau$ : la grandeur rejoint $y_\infty$, et à $t = \tau$ il reste environ $37$ % de l’écart de départ. Au second ordre, la forme $\ddot{x} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ fait apparaître la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$, qui décide du régime : pseudo-périodique si $Q \gt \dfrac{1}{2}$, critique si $Q = \dfrac{1}{2}$, apériodique si $Q \lt \dfrac{1}{2}$.