La fonction logarithme népérien Mathématiques · Tle · Les Génies des Sciences · geniesdessciences.com

En première, l’exponentielle transformait les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Sa réciproque, la fonction logarithme népérien, fait exactement le chemin inverse — et c’est elle qui permet enfin de faire descendre l’inconnue de l’exposant : résoudre $e^x = 5$ , ou trouver à partir de quel rang $0{,}8^n$ passe sous $0{,}1$ .

ln, la réciproque de l’exponentielle

Pour tout réel $x > 0$ , on appelle $\ln x$ l’unique solution de l’équation $e^y = x$ (unique car $\exp$ est continue, strictement croissante, de limites $0$ et $+\infty$ ). Autrement dit, $\ln$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ et :

$e^{\ln x} = x \ \text{ pour tout } x > 0 \qquad \text{et} \qquad \ln\left(e^x\right) = x \ \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$

Deux valeurs à connaître par cœur : $\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$ ) et $\ln e = 1$ (car $e^1 = e$ ). Graphiquement, les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ : chacune est le reflet de l’autre.

Les propriétés algébriques

Le logarithme transforme les produits en sommes

$\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln\left(a^n\right) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$

Pour a et b strictement positifs, n entier relatif. Cas particulier utile : ln(1/b) = −ln b. Chaque formule est le miroir d’une propriété de l’exponentielle.

Ces formules servent à réduire une expression ( $\ln 8 = 3\ln 2$ ), à regrouper plusieurs logarithmes en un seul avant de résoudre une équation, ou à tout exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .

Équations et inéquations : la méthode

Le domaine d’abord : écris les conditions d’existence ( $u(x) > 0$ pour chaque $\ln u(x)$ ) avant tout calcul.
Regroupe avec les propriétés algébriques pour te ramener à $\ln A = \ln B$ ou $e^A = e^B$ .
Supprime les $\ln$ ou les $e$ : par stricte croissance, $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a \leq \ln b \iff a \leq b$ (pour $a, b > 0$ ) — même chose pour $\exp$ .
Deux équivalences clés : $\ln x = k \iff x = e^k$ , et $e^x = k \iff x = \ln k$ … seulement si $k > 0$ (l’équation $e^x = -2$ n’a aucune solution).

Diviser par ln q : gare au sens de l’inégalité

Pour résoudre $0{,}8^n \leq 0{,}1$ , on prend le logarithme : $n\ln 0{,}8 \leq \ln 0{,}1$ . Mais $0{,}8 < 1$ , donc $\ln 0{,}8 < 0$ : en divisant, l’inégalité change de sens — $n \geq \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8}$ . C’est LE piège des exercices de seuil avec les suites géométriques : dès que la raison est entre $0$ et $1$ , son logarithme est négatif.

Dérivée et variations

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et :

$(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad \text{et pour une composée :} \qquad (\ln u)' = \frac{u'}{u}$

Comme $\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , $\ln$ est strictement croissante. Et sa dérivée $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante : $\ln$ est concave, sa courbe reste au-dessous de ses tangentes — par exemple au-dessous de $y = x - 1$ , la tangente en $1$ : $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .

D’où sort la dérivée ? (démonstration éclair)

La dérivabilité de $\ln$ étant admise, dérive les deux membres de $e^{\ln x} = x$ . À gauche, dérivée d’une composée : $(\ln x)' \times e^{\ln x} = (\ln x)' \times x$ . À droite : $1$ . Donc $(\ln x)' \times x = 1$ , c’est-à-dire $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ . C’est une démonstration exigible.

Limites et courbe

$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ — mais très lentement ( $\ln 1000 \approx 6{,}9$ ), et sans asymptote horizontale.

La courbe est strictement croissante, concave, passe par $(1\,;\,0)$ et $(e\,;\,1)$ , et se déduit de celle de $\exp$ par symétrie par rapport à la droite $y = x$ . Conséquence de la croissance : $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ et $\ln x > 0$ pour $x > 1$ .

Les croissances comparées

Face à une puissance, le logarithme perd toujours

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \qquad (n \geq 1 \text{ entier})$

En +∞ comme en 0, c’est la puissance de x qui impose sa limite. Hiérarchie à retenir : exponentielle ≫ puissances de x ≫ logarithme. Le cas n = 1 en 0 (limite de x ln x) est une démonstration exigible.

Ces limites lèvent les formes indéterminées du type « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » ou « $0 \times \infty$ » qui mélangent $\ln$ et puissances de $x$ — inutile de chercher plus compliqué : cite la croissance comparée.

Les pièges classiques

Ce que ln ne fait pas

$\ln(a + b)$ ne vaut pas $\ln a + \ln b$ : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en quoi que ce soit (contre-exemple : $\ln 2 \neq \ln 1 + \ln 1 = 0$ ). N’oublie pas que $\ln x$ est négatif sur $]0\,;\,1[$ . Avant toute équation, pose les conditions d’existence et rejette à la fin les solutions qui les violent. Et la dérivée d’une composée est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ — le $u'$ au numérateur s’oublie une fois sur deux.

La fonction logarithme népérien

Résumé de cours