Résumé — Cinématique et deuxième loi de Newton

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. L’idée directrice : décrire un mouvement avec trois vecteurs (position, vitesse, accélération), puis le relier aux forces par la deuxième loi de Newton.

Les trois vecteurs de la cinématique

Vecteur position : il repère le point mobile M par rapport à l’origine O du repère.
Vecteur vitesse : dérivée du vecteur position par rapport au temps ; il est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
Vecteur accélération : dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps ; il est orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

Vitesse et accélération

$\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} \qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$

v en m·s⁻¹, a en m·s⁻². Dériver deux fois les coordonnées de position donne celles de l’accélération ; intégrer fait le chemin inverse (avec les conditions initiales).

Le repère de Frenet

Définition : repère mobile lié au point M, avec un vecteur unitaire tangent (sens du mouvement) et un vecteur unitaire normal (vers le centre de courbure).
Utilité : il décompose l’accélération en une part qui change la valeur de la vitesse et une part qui change sa direction.

Accélération dans le repère de Frenet

$a_t = \frac{dv}{dt} \qquad a_n = \frac{v^2}{R}$

a_t : composante tangentielle (nulle si la valeur de v est constante) ; a_n : composante normale, toujours dirigée vers le centre (R : rayon de courbure).

La deuxième loi de Newton

Énoncé : dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système de masse m constante est égale au produit de sa masse par son accélération.
Méthode : définir le système et le référentiel, faire le bilan des forces, appliquer la loi, projeter sur les axes.

Deuxième loi de Newton

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$

F en N, m en kg, a en m·s⁻². L’accélération a toujours la direction et le sens de la somme des forces — pas forcément ceux du mouvement.

Deux mouvements de référence

Rectiligne uniformément accéléré : accélération constante le long de la trajectoire (chute libre verticale par exemple) ; la vitesse varie linéairement avec le temps, la position est un polynôme du second degré en t.
Circulaire uniforme : v constante en valeur, donc a_t = 0 — mais l’accélération n’est pas nulle : elle vaut v²/R, dirigée vers le centre du cercle.

Les pièges classiques

Trois erreurs à éviter

Un mouvement circulaire uniforme a une accélération non nulle (elle vaut v²/R vers le centre) — « uniforme » ne veut pas dire « sans accélération ». Le vecteur accélération n’est pas toujours dans le sens du mouvement : il suit la somme des forces. Et la deuxième loi ne s’applique que dans un référentiel galiléen — le préciser vaut des points.