Exercices — Cinématique et deuxième loi de Newton

1. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : on dérive chaque coordonnée séparément.

$v_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4{,}0\,t + 3{,}0 \qquad v_y(t) = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 4{,}0$

(en m·s⁻¹). Rappel des dérivées utiles : la dérivée de $t^2$ est $2t$, celle de $t$ est $1$, celle d’une constante est $0$.

2. Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse :

$a_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = 4{,}0 \text{ m·s}^{-2} \qquad a_y(t) = \dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = 0$

L’accélération est constante, dirigée selon $\vec{i}$.

3. À $t = 2{,}0$ s : $v_x = 4{,}0 \times 2{,}0 + 3{,}0 = 11{,}0$ m·s⁻¹ et $v_y = 4{,}0$ m·s⁻¹. La norme s’obtient avec le théorème de Pythagore :

$v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}} = \sqrt{11{,}0^{2} + 4{,}0^{2}} = \sqrt{137} \approx 12 \text{ m·s}^{-1}$

La vitesse du drone à cet instant vaut environ 12 m·s⁻¹ (soit 42 km·h⁻¹).

1. On divise par $3{,}6$ pour passer des km·h⁻¹ aux m·s⁻¹ :

$v = \dfrac{90}{3{,}6} = 25 \text{ m·s}^{-1}$

2. L’accélération est constante, c’est la variation de vitesse divisée par la durée :

$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{25 - 0}{8{,}0} = 3{,}1 \text{ m·s}^{-2}$

3. Avec $a$ constante et une vitesse initiale nulle, on obtient $v(t)$ en « remontant » la dérivation (primitive) :

$v(t) = a\,t = 3{,}1\,t$

Puis la position, primitive de la vitesse, avec $x(0) = 0$ :

$x(t) = \dfrac{1}{2}\,a\,t^{2} = 1{,}6\,t^{2}$

Vérifie toujours dans ce sens : en dérivant $x(t)$ tu dois retrouver $v(t)$, et en dérivant $v(t)$ tu dois retrouver $a$. ✓

4. À $t = 8{,}0$ s :

$x = \dfrac{1}{2} \times 3{,}1 \times 8{,}0^{2} = 1{,}0 \times 10^{2} \text{ m}$

La voiture a parcouru environ 100 m — soit la moitié de ce qu’elle aurait parcouru à 25 m·s⁻¹ pendant toute la durée : logique, sa vitesse moyenne vaut $25/2$ m·s⁻¹.

1. Dans le repère de Frenet (un vecteur tangent à la trajectoire, un vecteur normal dirigé vers le centre) :

$a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \qquad a_n = \dfrac{v^{2}}{R}$

$a_t$ traduit la variation de la norme de la vitesse, $a_n$ la variation de sa direction.

2. Le mouvement est circulaire uniforme : $v$ est constante, donc

$a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 \qquad a_n = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{8{,}0^{2}}{25} = 2{,}6 \text{ m·s}^{-2}$

Le vecteur accélération est donc centripète (dirigé vers le centre du rond-point), de norme $2{,}6$ m·s⁻². Même à vitesse constante, l’accélération n’est pas nulle : la direction du vecteur vitesse change en permanence !

3. La vitesse augmente régulièrement, donc :

$a_t = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{12{,}0 - 8{,}0}{4{,}0} = 1{,}0 \text{ m·s}^{-2}$

Le mouvement est alors circulaire non uniforme : l’accélération possède à la fois une composante tangentielle ($1{,}0$ m·s⁻²) et une composante normale ($v^2/R$, qui grandit avec la vitesse).

1. Quatre forces s’exercent sur le système :

• le poids $\vec{P}$, vertical, vers le bas, de norme $P = mg$ ;
• la réaction normale de la piste $\vec{R}$, verticale, vers le haut ;
• la force de traction $\vec{F}$, horizontale, dans le sens du mouvement ;
• la force de frottement $\vec{f}$, horizontale, opposée au mouvement.

2. La deuxième loi de Newton appliquée au système, de masse constante, dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

$\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\,\vec{a}$

Sur l’axe vertical, le mouvement reste horizontal : $\vec{P}$ et $\vec{R}$ se compensent. En projetant sur l’axe horizontal $(Ox)$ orienté dans le sens du mouvement :

$F - f = m\,a \qquad \text{d'où} \qquad a = \dfrac{F - f}{m} = \dfrac{90 - 30}{60} = 1{,}0 \text{ m·s}^{-2}$

3. L’accélération est constante et la vitesse initiale nulle, donc :

$v = a\,t = 1{,}0 \times 5{,}0 = 5{,}0 \text{ m·s}^{-1}$

Après $5{,}0$ s, la luge glisse à 5,0 m·s⁻¹ (18 km·h⁻¹).

4. Si $F = f$, la somme des forces horizontales est nulle — et les forces verticales se compensent déjà. D’après la deuxième loi de Newton, $\vec{a} = \vec{0}$ : le vecteur vitesse ne varie plus. La luge poursuit alors un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse acquise. Retiens bien : des forces qui se compensent ne veulent pas dire « arrêt », mais « vitesse constante ».