Résumé — Les fonctions sinus et cosinus

Le son, les marées, le courant alternatif, un ressort qui oscille : dès qu’un phénomène se répète à l’identique, les fonctions cosinus et sinus entrent en scène. Ce sont tes premières fonctions périodiques — et elles ont une élégance rare : chacune est, au signe près, la dérivée de l’autre.

Le cercle trigonométrique : les rappels de 1re

Sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , au réel $x$ (enroulé depuis le point $(1\,;\,0)$ ) correspond un point $M$ : $\cos x$ est l’abscisse de $M$ , $\sin x$ son ordonnée. D’où l’encadrement $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$ , et la relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (c’est Pythagore sur le cercle).

Les valeurs remarquables, à savoir sur le bout des doigts :

$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\[2mm] \hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\[2mm] \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array}$

Et les angles associés, que le cercle redonne par symétrie (inutile de les apprendre par cœur si tu sais dessiner) :

$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ ;
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ ;
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ .

Deux fonctions définies sur ℝ

Parité : $\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées), $\sin$ est impaire (symétrie par rapport à l’origine).
Périodicité : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ — les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$ . Conséquence précieuse : il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur $2\pi$ , comme $[-\pi\,;\,\pi]$ , puis de translater la courbe.
Courbes : deux sinusoïdes qui ondulent entre $-1$ et $1$ . Celle de $\sin$ est celle de $\cos$ décalée de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la droite : $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Les dérivées

Dérivées des fonctions trigonométriques

$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$

$\big(\sin(\omega t + \varphi)\big)' = \omega\cos(\omega t + \varphi) \qquad \big(\cos(\omega t + \varphi)\big)' = -\omega\sin(\omega t + \varphi)$

Le signe moins apparaît en dérivant cosinus. Les versions avec ωt + φ viennent de la dérivée d’une composée : on multiplie par ω, la dérivée de l’intérieur.

Les deux fonctions sont donc dérivables (et continues) sur $\mathbb{R}$ , et chacune renseigne sur les variations de l’autre.

Les variations

$\cos$ est décroissante sur $[0\,;\,\pi]$ (de $1$ à $-1$ ) — cohérent avec sa dérivée : $(\cos x)' = -\sin x \leq 0$ sur $[0\,;\,\pi]$ . Par parité, elle est croissante sur $[-\pi\,;\,0]$ .
$\sin$ est croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ (de $-1$ à $1$ ), car $(\sin x)' = \cos x \geq 0$ sur cet intervalle ; elle décroît ensuite sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ .

Ces deux tableaux, complétés par la parité et la période, suffisent à tracer les courbes entières.

Résoudre cos x = a ou sin x = a sur un intervalle : le cercle

La méthode du cercle (aucune formule magique)

1. Trace le cercle trigonométrique. 2. Pour $\cos x = a$ : trace la droite verticale d’abscisse $a$ — elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses, d’où, sur $[-\pi\,;\,\pi]$ , les solutions $x = \alpha$ et $x = -\alpha$ . Pour $\sin x = a$ : droite horizontale d’ordonnée $a$ , solutions $x = \alpha$ et $x = \pi - \alpha$ (à ramener dans l’intervalle demandé). 3. Pour une inéquation, colorie l’arc de cercle qui convient et lis les intervalles.

Exemple modèle : sur $[-\pi\,;\,\pi]$ , l’équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$ a pour solutions $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ ; et l’inéquation $\cos x \leq \dfrac{1}{2}$ a pour ensemble de solutions $\left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$ — tout l’arc situé à gauche de la droite verticale d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ .

Les pièges classiques

Radians, signes et solutions oubliées

En analyse, les angles sont en radians — calculatrice en mode radian, toujours. Le signe : $(\cos x)' = -\sin x$ , le moins se perd une fois sur deux. Les angles associés se mélangent vite ( $\sin(\pi - x) = \sin x$ mais $\cos(\pi - x) = -\cos x$ ) : au moindre doute, redessine le cercle. Une équation trigonométrique a presque toujours deux solutions par tour de cercle : sur $[-\pi\,;\,\pi]$ , $\sin x = \dfrac{1}{2}$ donne $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ , pas $\dfrac{\pi}{6}$ seul. Enfin, les formules d’addition et de duplication ( $\cos(a+b)$ , $\cos 2a$ …) relèvent de l’option maths expertes : en spécialité, tu n’en as pas besoin.