Résumé — Vecteurs, droites et plans de l'espace

Guider un drone, modéliser une molécule, construire un décor de jeu vidéo : dès qu’on quitte la feuille de papier, il faut savoir calculer en trois dimensions. Bonne nouvelle : les vecteurs que tu connais dans le plan fonctionnent exactement pareil dans l’espace — mêmes règles de calcul, relation de Chasles comprise. Ce qui change : une troisième coordonnée… et des questions nouvelles, car dans l’espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles.

Des vecteurs comme dans le plan

Un vecteur de l’espace se définit comme dans le plan (direction, sens, norme) et caractérise une translation. Toutes les règles de calcul s’étendent : relation de Chasles $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, multiplication par un réel, etc. Une combinaison linéaire de vecteurs est une expression du type $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Colinéaires, coplanaires : le vocabulaire décisif

• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (avec $\vec{u} \neq \vec{0}$). La colinéarité traduit le parallélisme des droites et l’alignement des points.
• $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires lorsque l’un est combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ (avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires).
• Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si, et seulement si, $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Droites de l’espace

Une droite est caractérisée par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0}$ : c’est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, avec $t \in \mathbb{R}$. Dans un repère, cette description devient une représentation paramétrique :

Deux réflexes de lecture : sur une représentation paramétrique, les constantes donnent un point et les coefficients de $t$ un vecteur directeur. Et pour tester si un point appartient à la droite, on cherche une valeur de $t$ qui vérifie les trois équations à la fois.

Plans de l’espace

Un plan est caractérisé par un point $A$ et un couple de vecteurs non colinéaires $(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ : c’est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\vec{u} + s\vec{v}$. Le couple $(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ définit la direction du plan — et deux plans sont parallèles si, et seulement si, ils ont la même direction.

Bases et repères de l’espace

Trois vecteurs non coplanaires $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ forment une base : tout vecteur de l’espace se décompose de façon unique en $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, et le triplet $(x\,;\,y\,;\,z)$ constitue ses coordonnées. En ajoutant une origine $O$, on obtient un repère $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\,,\,\vec{k})$ de l’espace.

Sur une figure, la décomposition se lit en suivant les arêtes : dans le cube $ABCDEFGH$ muni du repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE})$, la diagonale vérifie $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$, donc $G(1\,;\,1\,;\,1)$.

Positions relatives

• Deux droites : soit elles sont coplanaires — et alors sécantes ou parallèles, comme dans le plan — soit elles sont non coplanaires : elles ne se rencontrent pas, sans être parallèles.
• Une droite et un plan : la droite est incluse dans le plan, strictement parallèle au plan, ou sécante en un unique point.
• Deux plans : parallèles (confondus ou non), ou sécants selon une droite.

En géométrie repérée, ces questions se traduisent par des systèmes d’équations linéaires construits à partir des représentations paramétriques : on compare d’abord les vecteurs directeurs (colinéaires ou non ?), puis on cherche un éventuel point commun.

Les pièges classiques