Résumé — La continuité

Une fonction continue, c’est — en première approche — une fonction dont on trace la courbe sans lever le crayon : pas de saut, pas de trou. Derrière cette image se cache une définition par les limites, et surtout le théorème vedette de terminale : le théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit l’existence de solutions pour des équations qu’aucune formule ne sait résoudre.

Continue en un point, sur un intervalle

$f$ est continue en $a$ lorsque $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ : la limite existe et vaut la valeur de la fonction — la courbe arrive exactement là où elle doit. $f$ est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en chacun de ses points.

En pratique, tu n’auras presque jamais à le vérifier à la main : les fonctions polynômes, la racine carrée, la valeur absolue, l’exponentielle, le logarithme, sinus et cosinus sont continues sur leur ensemble de définition — ainsi que les sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s’annule pas) et composées de fonctions continues. Au contrôle, une phrase suffit : « $f$ est continue sur $I$ comme somme (ou produit, ou composée) de fonctions continues ».

Dérivable, donc continue

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ — sa courbe a un « pic », pas de tangente. Retiens le sens de l’implication : être dérivable, c’est plus fort qu’être continue.

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le TVI est un théorème d’existence : il affirme qu’une solution existe, sans dire combien il y en a, ni où elles sont précisément.

Le corollaire : la version « contrôle »

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$. C’est cette version qui tombe dans presque tous les sujets.

Encadrer la solution : balayage et dichotomie

Le corollaire donne l’existence de $\alpha$, mais aucune formule pour le calculer. On l’encadre :

• Balayage : on calcule $f(1)$, $f(1{,}1)$, $f(1{,}2)$… jusqu’au changement de signe. Si $f(1{,}2) < 0$ et $f(1{,}3) > 0$, alors $1{,}2 < \alpha < 1{,}3$ : encadrement d’amplitude $0{,}1$.
• Dichotomie : on coupe l’intervalle en deux en son milieu $m$, on garde la moitié où $f$ change de signe, et on recommence. Chaque étape divise l’amplitude par 2 : après $n$ étapes, elle vaut $\dfrac{b - a}{2^n}$. C’est l’algorithme classique à savoir reconnaître (et compléter) en Python.

Suites $u_{n+1} = f(u_n)$ : le réflexe du point fixe

Si la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence : $u_{n+1} \to \ell$ d’un côté, $f(u_n) \to f(\ell)$ de l’autre (image d’une suite convergente par une fonction continue). D’où :

$f(\ell) = \ell$

La limite est un point fixe de $f$ : on la trouve en résolvant l’équation $f(x) = x$, puis en éliminant les solutions incompatibles (par exemple hors de l’intervalle où vit la suite).

Les pièges classiques