Résumé — Proportionnalité et pourcentages

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Un fil conducteur unique — la proportionnalité, c’est multiplier toujours par le même nombre — décliné en pourcentages, échelles et vitesses.

Reconnaître et calculer

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Le produit en croix

$\text{si } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \text{, alors } a \times d = b \times c \qquad \text{donc } d = \dfrac{b \times c}{a}$

L’outil universel pour compléter un tableau de proportionnalité : on multiplie en diagonale, puis on divise par la valeur restante.

Les pourcentages

Appliquer un taux : prendre $t\ \%$ d’une quantité, c’est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ .
Calculer un taux : diviser la partie par le total — $12$ élèves sur $60$ , c’est $12 \div 60 = 0{,}20 = 20\ \%$ .

Le coefficient multiplicateur

$\text{augmenter de } t\ \% : \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) \qquad \text{diminuer de } t\ \% : \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$

Augmenter de 5 % = multiplier par 1,05 ; diminuer de 20 % = multiplier par 0,8. Pour enchaîner deux évolutions, on multiplie les coefficients.

Échelles, vitesses et grandeurs composées

L’échelle d’une carte est un coefficient de proportionnalité : à l’échelle $1/25\ 000$ , on multiplie les longueurs de la carte par $25\ 000$ pour obtenir les longueurs réelles (dans la même unité !).
La vitesse moyenne est une grandeur composée : $v = \dfrac{d}{t}$ , en km/h si $d$ est en km et $t$ en heures, en m/s si $d$ est en m et $t$ en secondes. On en déduit $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$ .

Le lien avec les fonctions linéaires

Une situation de proportionnalité de coefficient a se modélise par la fonction linéaire f(x) = ax : un mobile à 5 m/s parcourt d(x) = 5x mètres en x secondes. Graphiquement, proportionnalité = droite passant par l’origine, dont le coefficient directeur est le coefficient de proportionnalité. C’est le pont entre ce chapitre et celui sur les fonctions.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Additionner les pourcentages lors d’évolutions successives : +20 % puis −20 % ne ramène pas au prix de départ (coefficient 1,2 × 0,8 = 0,96, soit −4 %). Convertir les durées de travers : 1 h 30, c’est 1,5 h et non 1,3 h. Mélanger les unités dans v = d/t. Et raisonner par addition dans un tableau de proportionnalité : la proportionnalité multiplie, elle n’additionne jamais.