Résumé — Équations et mise en équation

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Une équation est une égalité à trou : résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie — puis s’en servir pour répondre à des problèmes concrets.

Tester une égalité

Pour savoir si un nombre est solution d’une équation : on remplace l’inconnue par ce nombre dans chaque membre séparément, on calcule, et on compare. Membres égaux → solution ; membres différents → pas solution.

Exemple : $3$ est solution de $3x - 5 = x + 1$ car $3 \times 3 - 5 = 4$ et $3 + 1 = 4$ .

Résoudre une équation du premier degré

Les deux règles qui conservent l’égalité

$\text{ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres} \qquad \text{multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul}$

« Faire passer de l’autre côté », c’est appliquer une de ces deux règles. Exemple : 4x − 8 = 7x + 4 devient −3x = 12, donc x = −4.

Méthode : développer s’il y a des parenthèses, regrouper les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, diviser par le coefficient de $x$ , puis vérifier en remplaçant dans l’équation de départ.

Équation produit nul et x² = a

La propriété du produit nul

$A \times B = 0 \quad \text{si et seulement si} \quad A = 0 \ \text{ou} \ B = 0$

À citer avant de résoudre : (x − 2)(x + 5) = 0 donne x = 2 ou x = −5. Une équation produit se sépare en deux petites équations du premier degré.

L’équation x² = a : trois cas selon le signe de a

$x^2 = a \ \text{avec} \ a > 0 : \ x = \sqrt{a} \ \text{ou} \ x = -\sqrt{a} \qquad a = 0 : \ x = 0 \qquad a < 0 : \ \text{aucune solution}$

Exemple : x² = 20 a deux solutions, √20 et −√20 (valeurs exactes). Et x² = −9 n’a aucune solution : un carré n’est jamais négatif.

Mettre un problème en équation

C’est la démarche vedette du brevet, en quatre étapes :

Choisir l’inconnue et l’écrire : « soit $x$ le nombre de… » (avec l’unité) ;
Traduire l’énoncé en une équation, phrase par phrase ;
Résoudre l’équation ;
Conclure par une phrase qui répond à la question, en vérifiant que le résultat a du sens (un âge négatif ou une longueur de $-3$ cm doivent alerter !).

Traduire les mots en calculs

« Le double de $x$ » → $2x$ ; « le double de $x$ , augmenté de 5 » → $2x + 5$ ; « le double de la somme de $x$ et 5 » → $2(x + 5)$ . L’ordre des mots décide de la place des parenthèses. En cas de doute, teste ta traduction avec une valeur simple.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Oublier de changer le signe d’un terme qui change de membre. Oublier la solution négative de $x^2 = a$ : $x^2 = 25$ a deux solutions, $5$ et $-5$ . Résoudre une équation produit en développant au lieu d’utiliser la propriété du produit nul. Et rendre une copie sans phrase de conclusion ni vérification : au brevet, la réponse au problème vaut autant que le calcul.