Exercices — Équations et mise en équation

1. On remplace $x$ par $2$ dans chaque membre et on compare :

• membre de gauche : $3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ ;
• membre de droite : $2 + 1 = 3$.

$1 \neq 3$ : les deux membres sont différents, donc $2$ n’est pas solution.

2. On remplace $x$ par $3$ :

• membre de gauche : $3 \times 3 - 5 = 9 - 5 = 4$ ;
• membre de droite : $3 + 1 = 4$.

$4 = 4$ : les deux membres sont égaux, donc $3$ est solution de l’équation.

3. On remplace $x$ par $-4$ : $(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ ✓. Donc $-4$ est solution de $x^2 = 16$ — tout comme $4$. Une équation peut avoir plusieurs solutions !

Réflexe à retenir : tester une valeur, c’est remplacer l’inconnue dans les deux membres séparément, puis comparer les deux résultats. Pense aux parenthèses autour des nombres négatifs.

1. On soustrait $9$ aux deux membres :

$x = 5 - 9 = -4$

La solution est $-4$. Vérification : $-4 + 9 = 5$ ✓.

2. On divise les deux membres par $-3$ :

$x = \dfrac{12}{-3} = -4$

La solution est $-4$. Vérification : $-3 \times (-4) = 12$ ✓.

3. On regroupe les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre. On soustrait $7x$ et on ajoute $8$ des deux côtés :

$4x - 7x = 4 + 8$

$-3x = 12$

$x = -4$

La solution est $-4$. Vérification : $4 \times (-4) - 8 = -24$ et $7 \times (-4) + 4 = -24$ ✓.

4. On commence par développer le membre de gauche :

$35 - 11x = 9 - 6x$

On regroupe : on ajoute $11x$ et on soustrait $9$ des deux côtés :

$35 - 9 = -6x + 11x$

$26 = 5x$

$x = \dfrac{26}{5} = 5{,}2$

La solution est $5{,}2$. Vérification : $5 \times (7 - 2{,}2 \times 5{,}2) = 5 \times (-4{,}44) = -22{,}2$ et $9 - 6 \times 5{,}2 = -22{,}2$ ✓.

Réflexe à retenir : quand on fait « passer » un terme de l’autre côté, on effectue en réalité la même opération sur les deux membres — c’est ce qui garantit que l’égalité reste vraie.

1. On cite la propriété du cours : si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Donc :

$2{,}5x - 7 = 0 \qquad \text{ou} \qquad 8x - 9{,}6 = 0$

On résout chaque petite équation du premier degré :

$2{,}5x = 7 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{7}{2{,}5} = 2{,}8$

$8x = 9{,}6 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{9{,}6}{8} = 1{,}2$

L’équation admet deux solutions : $2{,}8$ et $1{,}2$.

2. $20$ est positif, donc l’équation admet deux solutions, opposées l’une de l’autre :

$x = \sqrt{20} \qquad \text{ou} \qquad x = -\sqrt{20}$

soit environ $4{,}47$ et $-4{,}47$. On donne la valeur exacte avec la racine carrée, sauf si l’énoncé demande une valeur approchée.

3. Un carré n’est jamais négatif : quel que soit le nombre $x$, $x^2 \geqslant 0$. L’équation $x^2 = -4$ n’admet donc aucune solution.

Réflexe à retenir : pour $x^2 = a$, trois cas — si $a > 0$ : deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ; si $a = 0$ : une seule solution, $0$ ; si $a < 0$ : aucune solution.

1. La première année, le jardinier économise $55$ € mais dépense $199 + 13 = 212$ €.

$212 - 55 = 157$

La première année, l’installation lui fait donc perdre $157$ €.

2. On traduit chaque grandeur en fonction de $x$ :

• l’économie est de $55$ € par an, donc au bout de $x$ années : $55x$ (en euros) ;
• la dépense se compose de l’achat ($199$ €, payé une seule fois) et de l’entretien ($13$ € par an), donc au bout de $x$ années : $199 + 13x$ (en euros).

3. L’installation devient rentable quand l’économie totale dépasse la dépense totale. Cherchons d’abord le moment exact où elles sont égales, en résolvant l’équation :

$55x = 199 + 13x$

On soustrait $13x$ aux deux membres :

$55x - 13x = 199$

$42x = 199$

$x = \dfrac{199}{42} \approx 4{,}7$

L’économie rattrape la dépense au bout d’environ $4{,}7$ années. Comme on compte en années entières, c’est au cours de la $5^\text{e}$ année que la bascule se produit : au bout de 5 ans, l’installation est rentable.

Vérification : au bout de $5$ ans, économie $55 \times 5 = 275$ € contre dépense $199 + 13 \times 5 = 264$ € ✓ (et au bout de $4$ ans : $220$ € contre $251$ €, pas encore rentable).

Rédaction modèle pour le brevet : 1) définir clairement l’inconnue avec son unité (« $x$ est le nombre d’années ») ; 2) traduire l’énoncé en une équation ; 3) résoudre ; 4) conclure par une phrase qui répond à la question posée, en vérifiant que le résultat a du sens.