Résumé — Le calcul littéral — Les Génies des Sciences

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Deux mouvements inverses à maîtriser — développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit) — et un objectif : démontrer qu’un résultat est vrai pour tous les nombres.

Réduire et développer

Réduire, c’est regrouper les termes « de même nature » : les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble. Exemple : $7x + 3 - 2x = 5x + 3$ — et on s’arrête là, $5x + 3$ ne se réduit pas en $8x$ .

Les deux distributivités

$k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Simple : le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse. Double : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde (4 produits), puis on réduit.

L’opposé d’une expression : un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $-(3x - 7) = -3x + 7$ .

Factoriser

Factoriser, c’est repérer un facteur commun et le mettre en évidence — on prend le plus grand possible :

$5a + 15b = 5(a + 3b)$ — facteur commun $5$ ;
$12x^2 - 15x = 3x(4x - 5)$ — facteur commun $3x$ (le nombre et la lettre).

Vérification systématique : redévelopper de tête le résultat pour retomber sur l’expression de départ.

L’identité à connaître dans les deux sens

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Sens développement : (x + 6)(x − 6) = x² − 36, les doubles produits s’annulent. Sens factorisation : toute différence de deux carrés, comme x² − 64 = (x + 8)(x − 8) ou 4x² − 49 = (2x + 7)(2x − 7).

Démontrer avec le calcul littéral

C’est la grande nouveauté de 3e : le calcul littéral sert à prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres, notamment dans les programmes de calcul.

Méthode : appeler $x$ le nombre de départ, traduire chaque étape du programme, développer et réduire l’expression obtenue, puis conclure.

Exemples et démonstration : deux rôles différents

Tester le programme avec 3, 5 ou 10 permet de conjecturer (deviner le résultat général), mais des exemples ne démontrent jamais rien : il en faudrait une infinité ! Seul le calcul littéral démontre. À l’inverse, un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Écrire $3x + 5 = 8x$ : on n’additionne pas un terme en $x$ et un nombre. Oublier de distribuer sur le second terme : $3(2x + 1) = 6x + 3$ , pas $6x + 1$ . Oublier de changer tous les signes après un $-$ : $-(6 - x) = -6 + x$ . Et croire que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ : faux, le développement donne $a^2 + 2ab + b^2$ — vérifie avec $a = b = 1$ : $4 \neq 2$ .

Résumé — Le calcul littéral

Réduire et développer

Factoriser

Démontrer avec le calcul littéral

Les pièges classiques

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