Exercices — Le calcul littéral

1. On regroupe les termes en $x$ ensemble, et les nombres ensemble :

$A = 7x - 2x + 3 + 8 = 5x + 11$

Attention : on ne peut pas aller plus loin — $5x$ et $11$ ne s’additionnent pas entre eux.

2. Le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse :

$B = 3 \times 2x + 3 \times 1 = 6x + 3$

$C = -4x \times 6 - (-4x) \times 3x = -24x + 12x^2$

Pour $C$, on surveille les signes : $-4x \times 6 = -24x$ et $-4x \times (-3x) = +12x^2$ (moins par moins donne plus, et $x \times x = x^2$).

3. On développe la première parenthèse, puis on retire la seconde. Le signe $-$ devant $(6 - x)$ change le signe de chaque terme :

$D = 6x + 3 - 6 + x = 7x - 3$

Réflexe à retenir : $-(6 - x) = -6 + x$. Oublier de changer le signe du second terme est l’erreur la plus fréquente du chapitre !

1. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde ($4$ produits) :

$E = x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5 = x^2 + 5x + 2x + 10$

$E = x^2 + 7x + 10$

2. Même méthode, en gérant les signes ($-3$ garde son signe dans les produits) :

$F = 2x \times 5x + 2x \times 7 - 3 \times 5x - 3 \times 7 = 10x^2 + 14x - 15x - 21$

$F = 10x^2 - x - 21$

3. On applique une dernière fois :

$G = x \times 2x - x \times 1 + 4 \times 2x - 4 \times 1 = 2x^2 - x + 8x - 4$

$G = 2x^2 + 7x - 4$

Astuce de vérification : teste avec $x = 1$. Par exemple pour $G$ : $(1 + 4)(2 - 1) = 5$ et $2 + 7 - 4 = 5$ ✓. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur quelque part.

1. On repère le facteur commun et on le met « devant » :

$H = 5 \times a + 5 \times 3b = 5(a + 3b)$

Pour $J$, le facteur commun est $3x$ (le plus grand possible : $3$ divise $12$ et $15$, et $x$ est dans les deux termes) :

$J = 3x \times 4x - 3x \times 5 = 3x(4x - 5)$

2. On reconnaît l’identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : les doubles produits s’annulent.

$K = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$

$L = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$

3. On lit l’identité dans l’autre sens : $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Il faut écrire chaque terme comme un carré.

$M = x^2 - 64 = x^2 - 8^2$ avec $a = x$ et $b = 8$ :

$M = (x + 8)(x - 8)$

$N = 4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2$ avec $a = 2x$ et $b = 7$ :

$N = (2x + 7)(2x - 7)$

Réflexe à retenir : une différence de deux carrés se factorise toujours avec cette identité. Repère-la : $x^2 - 64$, $4x^2 - 49$, et même $x^2 - 13 = \left(x + \sqrt{13}\right)\left(x - \sqrt{13}\right)$.

1. On applique les étapes une à une en partant de $3$ :

$3 \quad \to \quad 3 + 2 = 5 \quad \to \quad 5 \times 3 = 15 \quad \to \quad 15 + 1 = 16$

On obtient bien $16$ ✓.

2. En partant de $5$ : $5 + 2 = 7$, puis $7 \times 5 = 35$, puis $35 + 1 = 36$.

En partant de $10$ : $10 + 2 = 12$, puis $12 \times 10 = 120$, puis $120 + 1 = 121$.

3. On remarque que $16 = 4^2$, $36 = 6^2$ et $121 = 11^2$. Conjecture : le résultat du programme est toujours le carré du nombre de départ augmenté de 1.

4. On appelle $x$ le nombre de départ et on traduit chaque étape :

$x \quad \to \quad x + 2 \quad \to \quad (x + 2) \times x \quad \to \quad x(x + 2) + 1$

On développe et on réduit le résultat :

$x(x + 2) + 1 = x^2 + 2x + 1$

On développe maintenant l’expression conjecturée $(x + 1)^2$ par double distributivité :

$(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$

Les deux expressions sont égales pour toute valeur de $x$ :

$x(x + 2) + 1 = (x + 1)^2$

Le résultat du programme est donc toujours le carré du nombre de départ augmenté de $1$ : la conjecture est démontrée.

Rédaction modèle pour le brevet : des exemples (questions 1 et 2) permettent de conjecturer, mais seuls des exemples ne démontrent rien. C’est le calcul littéral — valable pour tous les nombres — qui constitue la démonstration.