Résumé — Arithmétique : diviseurs et nombres premiers

Ce résumé condense l’exigible du chapitre. Une idée centrale : tout nombre entier se fabrique en multipliant des nombres premiers — et cette décomposition sert à simplifier les fractions et à résoudre les problèmes de partage.

Division euclidienne et diviseurs

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ , c’est trouver le quotient entier $q$ et le reste $r$ .

L’égalité de la division euclidienne

$a = b \times q + r \qquad \text{avec } r < b$

Exemple : 147 = 12 × 12 + 3. Le quotient et le reste sont des entiers, et le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.

$b$ est un diviseur de $a$ lorsque le reste est nul : la division « tombe juste ». On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ .

Les critères de divisibilité à connaître par cœur — un nombre est divisible :

par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0 ;
par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Nombres premiers et décomposition

Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. À connaître : $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ …

Méthode de décomposition : on divise par les nombres premiers dans l’ordre croissant (2, puis 3, puis 5, puis 7…) jusqu’à obtenir 1, et on regroupe les facteurs identiques avec des puissances.

La décomposition en produit de facteurs premiers

$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$

Tout entier supérieur à 1 se décompose ainsi, d’une seule façon. La décomposition est finie quand TOUS les facteurs sont premiers : 4 × 15 n’est pas une décomposition terminée.

Fractions irréductibles

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : on ne peut plus la simplifier.

Méthode : décomposer le numérateur et le dénominateur, puis barrer les facteurs communs.

La méthode reine du chapitre

Pour rendre $\dfrac{126}{90}$ irréductible : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ , on simplifie par les facteurs communs $2 \times 3^2$ , il reste $\dfrac{7}{5}$ . Cette même décomposition sert partout : simplifier, trouver un diviseur commun (problèmes de partage) ou un multiple commun (problèmes d’engrenages et de phénomènes qui se répètent).

Traduire un problème — les deux situations du brevet :

« Boîtes/bouquets identiques en utilisant tout » → chercher un diviseur commun (souvent le plus grand) : facteurs premiers communs aux deux décompositions.
« Se retrouver ensemble, dans la même position » (ampoules, engrenages, bus…) → chercher le plus petit multiple commun : chaque facteur premier avec son plus grand exposant.

Les pièges classiques

Les erreurs qui coûtent des points

Croire que 1 est premier : non, il n’a qu’un seul diviseur. Oublier que le reste doit être strictement inférieur au diviseur. S’arrêter de simplifier trop tôt : $\dfrac{15}{33}$ n’est pas irréductible (encore divisible par 3). Et retenir que 2 est le seul nombre premier pair — tout autre nombre pair est divisible par 2, donc a plus de deux diviseurs.