Exercices — Arithmétique : diviseurs et nombres premiers

1. On cherche combien de fois $12$ entre dans $147$ : $12 \times 12 = 144$ et $12 \times 13 = 156$, trop grand. Donc :

$147 = 12 \times 12 + 3$

Le quotient est $12$ et le reste est $3$. On vérifie bien que le reste est strictement inférieur au diviseur : $3 < 12$ ✓.

2. On cherche les diviseurs par paires de produits égaux à $36$ :

$36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$

Les diviseurs de $36$ sont donc : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $36$.

Astuce : en cherchant par paires, on est sûr de n’en oublier aucun — et on s’arrête quand les deux nombres de la paire se rejoignent (ici $6 \times 6$).

3. On utilise le critère de divisibilité par 3 : un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres l’est.

$4 + 2 + 5 + 1 = 12$

Or $12 = 3 \times 4$ est divisible par $3$, donc $4\ 251$ est divisible par $3$.

1. On divise par les nombres premiers dans l’ordre croissant ($2$, puis $3$, puis $5$, puis $7$…) jusqu’à obtenir $1$ :

Pour $126$ : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$, donc :

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$

Pour $90$ : $90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5$, donc :

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

2. On remplace numérateur et dénominateur par leurs décompositions, puis on simplifie les facteurs communs ($2$ et $3^2$) :

$\dfrac{126}{90} = \dfrac{2 \times 3^2 \times 7}{2 \times 3^2 \times 5} = \dfrac{7}{5}$

$7$ et $5$ sont premiers : ils n’ont aucun diviseur commun autre que $1$, la fraction $\dfrac{7}{5}$ est bien irréductible.

3. $30 = 2 \times 3 \times 5$ et $66 = 2 \times 3 \times 11$ : on simplifie par $2 \times 3 = 6$ :

$\dfrac{30}{66} = \dfrac{30 \div 6}{66 \div 6} = \dfrac{5}{11}$

Réflexe à retenir : « irréductible » signifie qu’on ne peut plus du tout simplifier. Si tu simplifies par $2$ seulement, tu obtiens $\dfrac{15}{33}$… qui se simplifie encore par $3$ !

1. On décompose :

$12 = 2^2 \times 3 \qquad 18 = 2 \times 3^2$

2. Les repères se retrouvent en contact quand le nombre de dents défilées est à la fois un multiple de 12 (tours complets de A) et un multiple de 18 (tours complets de B). On cherche donc le plus petit multiple commun à $12$ et $18$.

On le fabrique en prenant chaque facteur premier avec son plus grand exposant présent dans les décompositions : $2^2$ (vu dans $12$) et $3^2$ (vu dans $18$) :

$2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Il faut donc que $36$ dents défilent.

On peut vérifier avec les listes de multiples — multiples de $12$ : $12$, $24$, $\mathbf{36}$… ; multiples de $18$ : $18$, $\mathbf{36}$… ✓

3. La roue A effectue $36 \div 12 = 3$ tours complets et la roue B effectue $36 \div 18 = 2$ tours complets.

Réflexe à retenir : « se retrouver dans la même position », « s’allumer de nouveau ensemble », « repartir du même point »… tous ces problèmes se traduisent par la recherche d’un plus petit multiple commun.

1. Pour préparer $60$ boîtes identiques en utilisant tout, il faut que $60$ divise à la fois $420$ et $350$.

• $420 = 60 \times 7$ : la division tombe juste ✓ ;
• $350 = 60 \times 5 + 50$ : le reste n’est pas nul ✗.

$60$ ne divise pas $350$ : le pâtissier ne peut pas préparer $60$ boîtes.

2. On décompose en divisant par les nombres premiers successifs :

$420 = 2 \times 210 = 2 \times 2 \times 105 = 2^2 \times 3 \times 35 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

$350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5^2 \times 7$

3. Le nombre de boîtes doit être un diviseur commun à $420$ et $350$, et on cherche le plus grand possible. On le fabrique avec les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun pris avec son plus petit exposant : $2$, $5$ et $7$ :

$2 \times 5 \times 7 = 70$

Le pâtissier peut donc préparer au maximum $\mathbf{70}$ boîtes. Chaque boîte contient alors :

• $420 \div 70 = 6$ macarons ;
• $350 \div 70 = 5$ chocolats.

Rédaction modèle pour le brevet : annonce l’idée (« le nombre de boîtes est un diviseur commun »), décompose, conclus par une phrase avec la composition d’une boîte. Un résultat sans phrase de conclusion coûte des points !