Résumé — Variations et extremums d’une fonction

Une courbe qui monte, qui descend, un sommet, un creux : les variations racontent l’histoire d’une fonction — comme la température au fil de la journée — et les extremums en sont les records.

Croissante, décroissante, monotone

Sur un intervalle $I$ , tout se joue sur l’ordre des images :

Croissante : l’ordre est conservé. Décroissante : il est inversé.

$\text{croissante : } a < b \Longrightarrow f(a) \leqslant f(b) \qquad\qquad \text{décroissante : } a < b \Longrightarrow f(a) \geqslant f(b)$

Valable pour tous les nombres a et b de l’intervalle. Avec des inégalités strictes, on dit strictement croissante ou strictement décroissante. Monotone = un seul sens de variation sur tout l’intervalle.

Conséquence très utile : sur un intervalle où $f$ est monotone, on peut comparer deux images sans calculer — il suffit de comparer les deux nombres de départ.

Le tableau de variations

C’est le résumé de la courbe : une flèche par intervalle de monotonie, avec les images aux bornes. Exemple d’une fonction $f$ définie sur $[-2\,;\,4]$ :

$x$	$-2 \to 1$	$1 \to 4$
$f$	↘ de $5$ à $-1$	↗ de $-1$ à $3$

Il se lit de gauche à droite : $f$ décroît de $5$ jusqu’à $-1$ , puis remonte jusqu’à $3$ .

Maximum et minimum

Le maximum de $f$ sur $I$ est la plus grande image : un nombre $M = f(a)$ tel que $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x$ de $I$ . On dit qu’il est atteint en $a$ . Même chose pour le minimum, dans l’autre sens. Graphiquement : le point le plus haut (ou le plus bas) de la courbe sur l’intervalle. Sur le tableau ci-dessus : minimum $-1$ atteint en $1$ (le creux) ; maximum $5$ atteint en $-2$ (compare les deux sommets, $5$ et $3$ ).

Le maximum est une image, pas une abscisse

« Le maximum de f est 5, atteint en x = −2 » contient deux informations : la valeur record (un nombre sur l’axe vertical) et l’endroit où elle se produit (un nombre sur l’axe horizontal). Les intervertir est l’erreur la plus fréquente du chapitre.

Les fonctions affines f(x) = mx + p

Courbe : une droite. $p = f(0)$ est l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe vertical à la hauteur $p$ .
$m$ est le taux d’accroissement : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ varie de $m$ . Entre deux points : $m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ .
Variations : comme $f(b) - f(a) = m(b - a)$ , tout dépend du signe de $m$ — croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ , constante si $m = 0$ .
Signe : $f$ s’annule en $x = -\dfrac{p}{m}$ (pour $m \neq 0$ ), là où la droite traverse l’axe des abscisses. Si $m > 0$ , la droite monte : $f$ est négative avant ce zéro, positive après ; si $m < 0$ , c’est l’inverse.

Les problèmes d’optimisation

« Quelle largeur donne la plus grande aire ? » Trois étapes : modéliser la grandeur par une fonction (chapitre précédent), obtenir ses variations (courbe à la calculatrice, tableau de variations), puis lire l’extremum et conclure en donnant les deux nombres — la valeur optimale de $x$ et la valeur record de $f(x)$ .

Les pièges classiques

Trois confusions qui coûtent cher

1. Un tableau de variations se lit de gauche à droite (x croissant). 2. Croissante ne veut pas dire positive : une fonction peut monter tout en restant sous zéro. 3. Ne compare deux images à l’aide du tableau que si les deux nombres de départ sont dans le même intervalle de monotonie — sinon, impossible de conclure sans calcul.