Exercices — Variations et extremums d’une fonction

1. $f$ est croissante sur $[-3\,;\,0]$, décroissante sur $[0\,;\,4]$, puis croissante sur $[4\,;\,6]$.

2. Les images candidates au titre de maximum sont les sommets $f(0) = 2$ et $f(6) = 5$ : le maximum est $5$, atteint en $x = 6$. Les candidates au minimum sont les creux $f(-3) = -4$ et $f(4) = -1$ : le minimum est $-4$, atteint en $x = -3$. (Compare toujours tous les sommets et tous les creux, bornes comprises !)

3. $1$ et $3$ appartiennent tous deux à $[0\,;\,4]$, où $f$ est strictement décroissante (la flèche descend). Comme $1 < 3$, l’ordre est inversé : $f(1) > f(3)$.

4. Non : $-1$ et $5$ ne sont pas dans le même intervalle de monotonie. Le tableau indique seulement que $f(-1)$ est comprise entre $-4$ et $2$, et $f(5)$ entre $-1$ et $5$ : ces deux fourchettes se chevauchent, impossible de conclure.

Réflexe à retenir : un tableau de variations permet de comparer deux images uniquement si les deux nombres de départ habitent le même intervalle de monotonie.

1. Le sens de variation d’une fonction affine est donné par le signe de son coefficient directeur : $f$ est croissante ($m = 3 > 0$), $g$ est décroissante ($m = -2 < 0$) et $h$ est constante ($m = 0$).

2. $f(x) = 0 \iff 3x = 6 \iff x = 2$ ; et $g(x) = 0 \iff -2x = -8 \iff x = 4$.

3. Une fonction affine est du signe de $m$ après son zéro :

4. La droite de $f$ monte ($m > 0$) et traverse l’axe des abscisses en $2$ : avant ce point elle est sous l’axe ($f$ négative), après elle est au-dessus ($f$ positive). Sens de variation, signe et dessin racontent la même histoire.

Réflexe à retenir : pour une affine $mx + p$, le zéro est $-\dfrac{p}{m}$ et le signe de $m$ donne à la fois le sens de la droite et la ligne du tableau de signes.

1. $m = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{11 - 5}{2} = 3$.

2. $f(x) = 3x + p$, et $f(1) = 5$ donne $3 + p = 5$, soit $p = 2$ :

$f(x) = 3x + 2$

(Vérification avec l’autre point : $f(3) = 9 + 2 = 11$ ✓.)

3. $m = 3 > 0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Et $f(10) = 30 + 2 = 32$.

4. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$ : c’est exactement ce que mesure le taux d’accroissement.

Réflexe à retenir : $m$ = accroissement des images divisé par accroissement des abscisses ; puis un seul des deux points suffit pour trouver $p$. Vérifie toujours avec l’autre point.

1. Chaque phrase de l’énoncé devient une flèche :

2. La température monte sur $[6\,;\,15]$, c’est-à-dire de 6 h à 15 h.

3. Maximum : $21$ °C, atteint à $15$ h (les autres sommets, $8$ et $12$ °C, sont plus bas). Minimum : $5$ °C, atteint à $6$ h.

4. $9$ et $13$ sont tous deux dans $[6\,;\,15]$, où $T$ est strictement croissante ; comme $9 < 13$, on en déduit $T(9) < T(13)$ — il fait plus chaud à 13 h qu’à 9 h.

Réflexe à retenir : une situation décrite par des phrases se traduit flèche par flèche en tableau de variations ; les extremums et les comparaisons se lisent ensuite d’un coup d’œil.

1. On développe : $x(20 - 2x) = 20x - 2x^2$ ✓.

2. $A(0) = 0$, $A(5) = 5 \times 10 = 50$ et $A(10) = 10 \times 0 = 0$ :

3. Le maximum de $A$ est $50$, atteint pour $x = 5$ : l’aire maximale est de 50 m², pour une largeur de $5$ m et une longueur de $20 - 2 \times 5 = 10$ m. (Contrôle : le grillage utilisé vaut bien $2 \times 5 + 10 = 20$ m ✓.)

4. On développe le membre de droite :

$-2(x - 5)^2 = -2(x^2 - 10x + 25) = -2x^2 + 20x - 50 = A(x) - 50$

Or un carré est toujours positif ou nul : $-2(x - 5)^2 \leqslant 0$, donc $A(x) \leqslant 50$ pour tout $x$, avec égalité exactement quand $x = 5$. Cela démontre que $50$ est bien le maximum de $A$, atteint en $5$.

5. $2$ et $4$ appartiennent à $[0\,;\,5]$, où $A$ est strictement croissante : comme $2 < 4$, on a $A(2) < A(4)$. (Contrôle : $A(2) = 32$ et $A(4) = 48$ ✓.)

Réflexe à retenir : pour prouver qu’un nombre $M$ est un maximum, montre que $f(x) - M \leqslant 0$ pour tout $x$ et que la valeur $M$ est atteinte — un carré, toujours positif ou nul, est ton meilleur allié.