Résumé — Puissances, racines carrées et calcul littéral

Un fichier de $2^{20}$ octets, une bactérie de $10^{-6}$ m, la diagonale d’un carré qui vaut $\sqrt{2}$ fois son côté : les puissances et les racines sont partout où l’on mesure. Ajoute le calcul littéral — développer, factoriser, retourner une formule — et tu tiens la boîte à outils de toute l’année.

Puissances : trois règles, tout en découle

Exposants entiers relatifs (base non nulle)

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$

Avec aussi : a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ et (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Exemples : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 ; 10⁻³ = 0,001.

Même base : les exposants s’ajoutent dans un produit, se retranchent dans un quotient. Ils ne se multiplient que pour une puissance de puissance : $(5^2)^3 = 5^6$ .

Racines carrées

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ (défini pour $a \geqslant 0$ ).

Les deux relations à connaître

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a, b \geqslant 0) \qquad\qquad \sqrt{a^2} = |a|$

La première sert à simplifier : √50 = √(25 × 2) = 5√2. La seconde rappelle qu’une racine est toujours positive : √((−3)²) = √9 = 3, c’est-à-dire |−3|, la distance de −3 à 0.

Aucune règle pour la somme : $\sqrt{16 + 9} = 5$ , alors que $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 7$ .

Développer, factoriser : choisir la bonne forme

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait le chemin inverse. Les identités remarquables vues au collège servent dans les deux sens :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

La question dicte la forme

Pour résoudre « = 0 » ou étudier un signe : forme factorisée (un produit est nul dès qu’un facteur est nul). Pour calculer l’image de 0 ou réduire : forme développée. Exemple : $(x + 3)^2 - 16$ se factorise en $(x - 1)(x + 7)$ et se développe en $x^2 + 6x - 7$ — même expression, deux visages.

Pour les expressions fractionnaires, factorise puis simplifie, en notant la valeur interdite : $\dfrac{x^2 + 3x}{x} = \dfrac{x(x + 3)}{x} = x + 3$ pour $x \neq 0$ (un dénominateur ne doit jamais s’annuler).

Comparer deux quantités

Par différence : le signe de $a - b$ dit qui est le plus grand. Ainsi $\dfrac{5}{8} - \dfrac{7}{11} = -\dfrac{1}{88} < 0$ , donc $\dfrac{5}{8} < \dfrac{7}{11}$ .
Par quotient, pour deux quantités strictement positives : on compare $\dfrac{a}{b}$ à 1. Un loyer qui passe de 640 à 672 euros : $\dfrac{672}{640} = 1{,}05$ , une hausse de $5\ \%$ . C’est la lecture multiplicative du même changement que « +32 euros » (lecture additive).

Exprimer une variable en fonction des autres

Une formule se manipule comme une équation : on isole la lettre voulue en faisant la même opération des deux côtés.

$U = RI \;\Rightarrow\; R = \frac{U}{I} \qquad\quad d = vt \;\Rightarrow\; t = \frac{d}{v} \qquad\quad V = \pi r^2 h \;\Rightarrow\; h = \frac{V}{\pi r^2}$

(en supposant non nuls les nombres par lesquels on divise)

Les pièges classiques

Le quatuor des erreurs interdites

$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ — le double produit ! $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — la racine d’un produit se sépare, pas celle d’une somme. $a^m \times a^n \neq a^{m \times n}$ — dans un produit, les exposants s’ajoutent. Et $-3^2 = -9$ alors que $(-3)^2 = 9$ — sans parenthèses, le carré ne porte que sur le 3.