Puissances, racines carrées et calcul littéral seconde : exercices corrigés (PDF)

Une feuille A4 qui est la moitié d’une feuille A3, un nombre écrit $2 \times 10^5$ , la diagonale d’un carré qui vaut $\sqrt{2}$ fois son côté : les puissances et les racines carrées servent dès qu’on mesure et qu’on compare. En seconde, elles se calculent avec des règles précises, et le calcul littéral permet de transformer une expression ou une formule avant de s’en servir. Les trois premiers exercices sont des questions flash, à faire sans calculatrice : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants se rédigent, avec un corrigé détaillé comme au tableau : des racines carrées à simplifier, l’équation $x^2 = a$ et la démonstration d’une règle du cours, puis les formats de papier A4, A3…, où se croisent puissances de 2, racine carrée de 2 et un petit programme Python, comme en évaluation.

Puissances, racines carrées et calcul littéral : l’essentiel

Les puissances

Pour un nombre $a$ non nul et deux entiers relatifs $m$ et $n$ , les exposants s’ajoutent dans un produit, se retranchent dans un quotient et se multiplient pour une puissance de puissance :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \times n}$

Avec $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ et, pour $b$ non nul, $(ab)^n = a^n b^n$ . Ces règles demandent la même base ou le même exposant : $2^3 \times 3^2$ ne s’écrit pas $6^5$ , il se calcule. Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le nombre qui le précède : $-3^2 = -9$ , alors que $(-3)^2 = 9$ .

Les racines carrées

Pour $a \geqslant 0$ , $\sqrt{a}$ est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{49} = 7$ . Deux règles :

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ $\sqrt{x^2} = |x|$

La première vaut pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ , la seconde pour tout réel $x$ : $|x|$ est la distance de $x$ à 0. Aucune règle pour une somme : $\sqrt{9 + 16} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ .

L’équation x² = a

Si $a \gt 0$ , elle a deux solutions, $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ , elle a une solution, $0$ .
Si $a \lt 0$ , elle n’a aucune solution : un carré est positif ou nul.

Développer, factoriser

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Lues de gauche à droite, ces égalités développent ; de droite à gauche, elles factorisent. La question choisit la forme : la forme factorisée pour résoudre $A(x) = 0$ , la forme développée pour calculer $A(0)$ .

Isoler une variable, comparer deux nombres

Une formule se transforme comme une équation : on fait la même opération sur les deux membres, et l’on ne divise que par un nombre non nul. Ainsi $U = RI$ donne $I = \dfrac{U}{R}$ pour $R \neq 0$ . Pour comparer deux nombres $a$ et $b$ , on étudie le signe de leur différence $a - b$ ; s’ils sont strictement positifs, on peut aussi comparer leur quotient $\dfrac{a}{b}$ à 1.

Le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés.

$(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , alors que $3^2 + 4^2 = 25$ . Il manque le double produit $2 \times 3 \times 4 = 24$ .

La carte du chapitre. Avant d’appliquer une règle, vérifie ce qu’elle demande : la même base pour les puissances, des nombres positifs ou nuls sous les racines.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Identités remarquables : développer, factoriser, choisir la forme

★★★

Le cours en un texte à trous, sans calculatrice

Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d' ; factoriser une somme, c'est l'écrire sous la forme d' . Avec l'identité (a + b)² = a² + 2ab + b², l'expression (x + 5)² se développe en . Avec (a + b)(a − b) = a² − b², le produit (x − 3)(x + 3) vaut . Pour factoriser 4x² + 12x, on met en facteur , et l'on obtient 4x(x + 3). L'expression 9x² − 1 se factorise en , en reconnaissant a² − b² avec a = 3x et b = 1. Pour résoudre A(x) = 0, la forme la plus adaptée est la forme , car un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul ; pour calculer A(0), c'est souvent la forme . Pour comparer deux nombres a et b, on peut étudier le signe de leur a − b. Enfin, pour isoler I dans la formule P = UI, où U n'est pas nul, on , ce qui donne I = P / U.

Exercice 4

Simplifier des racines carrées, résoudre x² = a, démontrer une règle

★★★

Application directe, avec une démonstration du cours

Écrire $\sqrt{75}$ et $\sqrt{12}$ sous la forme $k\sqrt{3}$ , où $k$ est un entier. En déduire que le nombre $A = \sqrt{75} - 2\sqrt{12}$ est égal à $\sqrt{3}$ .
Développer et réduire $B = (2 + \sqrt{3})^2$ et $C = (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ , l’ensemble des nombres réels, les équations $x^2 = 12$ et $x^2 + 5 = 1$ .
Démonstration du cours. Soit $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. a) Calculer $(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2$ . b) Justifier que $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif ou nul. c) En déduire que $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Voir le corrigé

1. Pour simplifier une racine carrée, on cherche le plus grand carré parfait, c’est-à-dire le carré d’un entier, qui divise le nombre placé sous la racine : ici, $75 = 25 \times 3$ et $12 = 4 \times 3$ . Tous ces nombres sont positifs, donc la règle $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ s’applique :

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

On remplace dans $A$ , puis on met $\sqrt{3}$ en facteur, comme on réduirait $5y - 4y$ :

$A = 5\sqrt{3} - 2 \times 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (5 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

2. Pour $B$ , on reconnaît $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 2$ et $b = \sqrt{3}$ , et l’on se sert de $(\sqrt{3})^2 = 3$ :

$B = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

Pour $C$ , on reconnaît $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ avec $a = \sqrt{7}$ et $b = 2$ :

$C = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

Ce produit de deux nombres écrits avec une racine carrée est un entier : l’identité $a^2 - b^2$ a fait disparaître la racine.

3. Le nombre $12$ est strictement positif : l’équation $x^2 = 12$ a deux solutions, $-\sqrt{12}$ et $\sqrt{12}$ . D’après la question 1, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ : les solutions sont $-2\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$ . On peut aussi le retrouver en factorisant : $x^2 = 12$ équivaut à $x^2 - 12 = 0$ , et :

$x^2 - 12 = x^2 - (\sqrt{12})^2 = (x - \sqrt{12})(x + \sqrt{12})$

Or un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul.

Pour la seconde équation, on isole d’abord le carré en retranchant $5$ aux deux membres : $x^2 + 5 = 1$ équivaut à $x^2 = -4$ . Un carré est positif ou nul, il ne peut pas valoir $-4$ : l’équation n’a aucune solution. On écrit $\mathcal{S} = \varnothing$ , où $\mathcal{S}$ désigne l’ensemble des solutions et $\varnothing$ l’ensemble vide.

4. a) On utilise la règle de la puissance d’un produit, ici $(xy)^2 = x^2 y^2$ , puis la définition de la racine carrée, qui donne $(\sqrt{a})^2 = a$ et $(\sqrt{b})^2 = b$ :

$(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b = ab$

b) Par définition, $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont positifs ou nuls ; leur produit l’est donc aussi.

c) Le nombre $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif ou nul (question b) et son carré vaut $ab$ (question a). Or $\sqrt{ab}$ est, par définition, le nombre positif ou nul dont le carré vaut $ab$ . Les deux nombres sont donc égaux :

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

La question b n’est pas un détail : le nombre $-\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ a lui aussi pour carré $ab$ , mais il est négatif ou nul, et il n’est égal à $\sqrt{ab}$ que si $ab = 0$ .

Réflexe à retenir : pour simplifier $\sqrt{N}$ , cherche le plus grand carré parfait qui divise $N$ ( $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ …) ; pour résoudre $x^2 = a$ , regarde d’abord le signe de $a$ .

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Puissances de 2 et racine carrée de 2 : les formats de papier A4, A3…

★★★

Type évaluation, avec un document à exploiter

Une feuille d’imprimante, un cahier, une affiche : de nombreux papiers vendus en France suivent la norme internationale ISO 216, dont voici l’essentiel. La calculatrice est autorisée.

Document - Les formats de papier de la série A (norme ISO 216)

Le format A0 a une aire de 1 m².
Chaque format s’obtient en coupant le précédent en deux rectangles identiques, par le milieu de sa longueur : A1 est la moitié de A0, A2 la moitié de A1, et ainsi de suite.
Tous les formats ont la même forme : le quotient de la longueur par la largeur est le même pour tous, aux arrondis près.

Dimensions des formats, arrondies au millimètre
Format	Largeur (mm)	Longueur (mm)
A0	841	1 189
A1	594	841
A2	420	594
A3	297	420
A4	210	297
A5	148	210

Une feuille A0 découpée en formats plus petits : chaque découpe partage un rectangle en deux moitiés de même forme que lui.

À l’aide du tableau, calculer à $0{,}001$ près le quotient de la longueur par la largeur pour le format A4, puis pour le format A0. Comparer ces deux quotients avec $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ .
Dans la suite, on considère des feuilles idéales, sans arrondi : pour une feuille de longueur $L$ et de largeur $\ell$ , exprimées dans la même unité, on admet que $L = \sqrt{2}\,\ell$ . On coupe cette feuille par le milieu de sa longueur : chaque moitié a pour longueur $\ell$ et pour largeur $\dfrac{L}{2}$ . Montrer que le quotient de la longueur par la largeur d’une moitié vaut encore $\sqrt{2}$ .
a) Exprimer l’aire d’une feuille A4, en mètres carrés, sous la forme d’une puissance de 2. b) Convertir cette aire en centimètres carrés, puis la comparer avec l’aire calculée à partir des dimensions du tableau. c) Combien de feuilles A4 obtient-on en découpant une feuille A0 ?
Comparer les aires des formats A3 et A4, d’abord par leur différence, puis par leur quotient. Interpréter chaque résultat.
Pour trouver le premier format dont l’aire est inférieure à $1\ \text{cm}^2$ , on a écrit la fonction Python ci-dessous, où les aires sont exprimées en mètres carrés.
```
def premier_format(seuil):
    n = 0
    aire = 1              # aire du format A0, en m²
    while aire >= seuil:
        n = n + 1
        aire = aire / 2   # aire du format suivant
    return n
```
a) Justifier que $1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ . b) Après $n$ passages dans la boucle, que vaut la variable aire ? c) On donne $2^{-13} \approx 1{,}22 \times 10^{-4}$ et $2^{-14} \approx 6{,}10 \times 10^{-5}$ . Que renvoie l’appel premier_format(0.0001) ? Interpréter ce résultat.

Voir le corrigé

1. Le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité n’a pas d’unité. Pour le format A4 :

$\frac{297\ \text{mm}}{210\ \text{mm}} \approx 1{,}414$

Pour le format A0 :

$\frac{1\,189\ \text{mm}}{841\ \text{mm}} \approx 1{,}414$

Les deux quotients sont égaux à $0{,}001$ près, et égaux à $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ à la même précision : les feuilles A4 et A0 ont la même forme, celle d’un rectangle dont la longueur vaut environ $\sqrt{2}$ fois la largeur.

2. Le quotient de la longueur par la largeur d’une moitié est $\ell \div \dfrac{L}{2}$ . Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, puis on remplace $L$ par $\sqrt{2}\,\ell$ :

$\ell \div \frac{L}{2} = \ell \times \frac{2}{L} = \frac{2\ell}{L} = \frac{2\ell}{\sqrt{2}\,\ell} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

La largeur $\ell$ n’est pas nulle : on a pu simplifier par $\ell$ . Enfin, $2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$ , donc :

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Le quotient de la longueur par la largeur d’une moitié vaut encore $\sqrt{2}$ : chaque moitié a la même forme que la feuille de départ. C’est pour cela qu’un document A4 peut être agrandi en A3 sans être déformé.

3. a) Chaque découpe partage une feuille en deux moitiés identiques : l’aire est divisée par $2$ d’un format au suivant. Il faut quatre découpes pour passer de A0 à A4 :

$\frac{1\ \text{m}^2}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1\ \text{m}^2}{2^4} = 2^{-4}\ \text{m}^2$

Une feuille A4 a une aire de $2^{-4}\ \text{m}^2$ . Plus généralement, le format A $n$ a une aire de $2^{-n}\ \text{m}^2$ .

b) D’abord, $2^{-4} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625$ . Ensuite, $1\ \text{m} = 10^2\ \text{cm}$ , donc $1\ \text{m}^2 = (10^2\ \text{cm})^2 = 10^4\ \text{cm}^2$ . Ainsi :

$2^{-4}\ \text{m}^2 = 0{,}0625 \times 10^4\ \text{cm}^2 = 625\ \text{cm}^2$

Avec les dimensions du tableau, converties en centimètres ( $210\ \text{mm} = 21{,}0\ \text{cm}$ et $297\ \text{mm} = 29{,}7\ \text{cm}$ ) :

$21{,}0\ \text{cm} \times 29{,}7\ \text{cm} = 623{,}7\ \text{cm}^2$

Les deux aires sont très proches : l’écart, $1{,}3\ \text{cm}^2$ , vient de l’arrondi des dimensions au millimètre. Le résultat de la question a est donc vraisemblable.

c) Le nombre de feuilles A4 que l’on découpe dans une feuille A0 est le quotient de leurs aires :

$\frac{1\ \text{m}^2}{2^{-4}\ \text{m}^2} = \frac{1}{2^{-4}} = 2^4 = 16$

Une feuille A0 donne $16$ feuilles A4.

4. D’après la question 3, l’aire d’une feuille A3 vaut $2^{-3}\ \text{m}^2 = 0{,}125\ \text{m}^2$ , et celle d’une feuille A4, $2^{-4}\ \text{m}^2 = 0{,}0625\ \text{m}^2$ . Par différence :

$0{,}125\ \text{m}^2 - 0{,}0625\ \text{m}^2 = 0{,}0625\ \text{m}^2$

La différence est positive : une feuille A3 a une aire plus grande que celle d’une feuille A4, de $0{,}0625\ \text{m}^2$ , soit $625\ \text{cm}^2$ ; c’est l’aire d’une feuille A4. C’est une comparaison additive. Par quotient, les deux aires étant strictement positives :

$\frac{2^{-3}\ \text{m}^2}{2^{-4}\ \text{m}^2} = 2^{-3 - (-4)} = 2^1 = 2$

Le quotient vaut $2$ : l’aire d’une feuille A3 est le double de celle d’une feuille A4. C’est une comparaison multiplicative, très parlante ici, puisqu’une feuille A3 se découpe en deux feuilles A4.

5. a) $1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}$ , donc $1\ \text{cm}^2 = (10^{-2}\ \text{m})^2 = 10^{-2 \times 2}\ \text{m}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ , c’est-à-dire $0{,}0001\ \text{m}^2$ : c’est la valeur à donner à seuil.

b) Au départ, aire vaut $1$ , l’aire du format A0 en mètres carrés. Chaque passage dans la boucle ajoute $1$ à n et divise aire par $2$ : après $n$ passages, aire vaut $2^{-n}$ , l’aire du format A $n$ en mètres carrés.

c) La boucle continue tant que aire >= seuil, c’est-à-dire tant que l’aire du format atteint encore $10^{-4}\ \text{m}^2$ . L’aire diminue à chaque passage. Après le passage où n prend la valeur $13$ , aire vaut $2^{-13} \approx 1{,}22 \times 10^{-4}$ , qui est supérieur à $10^{-4}$ : la boucle continue. Au passage suivant, n vaut $14$ et aire vaut $2^{-14} \approx 6{,}10 \times 10^{-5}$ , qui est inférieur à $10^{-4}$ : la boucle s’arrête, et l’appel premier_format(0.0001) renvoie $14$ . Le format A14 est le premier dont l’aire est inférieure à $1\ \text{cm}^2$ . C’est un format théorique, obtenu en prolongeant la règle des moitiés au-delà des formats en usage.

Réflexe à retenir : une grandeur divisée par $2$ à chaque étape s’écrit avec une puissance de $2$ , $2^{-n}$ fois la valeur de départ après $n$ étapes. Pour comparer deux grandeurs, le quotient dit « combien de fois plus », la différence dit « de combien de plus ».

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Même base ou même exposant ; sinon, on calcule. Les exposants s’ajoutent dans un produit, se retranchent dans un quotient et se multiplient pour une puissance de puissance. Devant $2^3 \times 3^2$ , aucune de ces règles ne regroupe les deux facteurs : on calcule chaque puissance.
Une racine carrée est positive ou nulle. C’est ce qui donne $\sqrt{x^2} = |x|$ , deux solutions à l’équation $x^2 = a$ quand $a$ est strictement positif ( $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ ), et aucune quand $a$ est strictement négatif. La racine d’un produit de nombres positifs se sépare ; pour une somme, il n’y a pas de règle.
La question choisit la forme. La forme factorisée sert à résoudre $A(x) = 0$ , la forme développée à calculer $A(0)$ . Et une formule se transforme comme une équation : même opération sur les deux membres, et une division seulement par un nombre non nul.

Pour continuer, les exercices sur les équations et inéquations reprennent l’équation $x^2 = a$ et l’équation produit nul, et ceux sur les proportions et évolutions la lecture multiplicative d’une hausse ou d’une baisse.

Exercices corrigés — Puissances, racines carrées et calcul littéral

Calculer avec les puissances : règles, pièges et écriture scientifique

Racines carrées : règles de calcul et valeur absolue