Exercices — Puissances, racines carrées et calcul littéral

1. a) $3^5 \times 3^{-2} = 3^{5 + (-2)} = 3^3 = 27$. b) $10^4 \times 10^{-6} = 10^{4 - 6} = 10^{-2} = 0{,}01$. c) $\dfrac{7^8}{7^6} = 7^{8 - 6} = 7^2 = 49$.

2. D’abord la puissance de puissance : $(2^3)^2 = 2^6$. Puis :

$\frac{2^6 \times 2}{2^4} = \frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8$

3. $\dfrac{a^7 \times a^{-3}}{a^2} = \dfrac{a^4}{a^2} = a^2$.

4. $1$ Go $= 2^{10} \times 2^{10} = 2^{20}$ Ko, soit $1\ 048\ 576$ Ko : environ un million de Ko dans un seul Go.

Réflexe à retenir : même base ? Les exposants s’ajoutent dans un produit et se retranchent dans un quotient ; ils ne se multiplient que pour une puissance de puissance.

1. a) $\sqrt{81} = 9$. b) $\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$. c) $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4$ — la formule $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ fonctionne dans les deux sens.

2. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ et $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}$.

3. a) $(-7)^2 = 49$, donc $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$. b) Non : pour $x = -7$, on vient de voir que $\sqrt{x^2} = 7 \neq -7$. La bonne relation est $\sqrt{x^2} = |x|$, la distance de $x$ à $0$ — car une racine carrée est toujours positive.

4. a) $(3 + \sqrt{2})^2 = 9 + 2 \times 3 \times \sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$. b) $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$. Conclusion : $\sqrt{a + b}$ n’est pas égal à $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général — la racine d’un produit se sépare, jamais celle d’une somme.

Réflexe à retenir : pour simplifier $\sqrt{N}$, fais apparaître le plus grand carré parfait caché dans $N$ ($4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$…).

1. a) $(x - 5)(x + 2) = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10$. b) Avec l’identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

2. a) $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$ (identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$). b) $5x^2 + 15x = 5x \times x + 5x \times 3 = 5x(x + 3)$ (facteur commun $5x$).

3. a) La forme factorisée : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. $(x - 1)(x + 4) = 0$ donne $x - 1 = 0$ ou $x + 4 = 0$, c’est-à-dire $x = 1$ ou $x = -4$. b) La forme développée : $A(0)$ est son terme constant, donc $A(0) = -4$ — aucun calcul à poser.

Réflexe à retenir : c’est la question qui dicte la forme. « Égal zéro ? » → factorisée. « Image de $0$, réduire ? » → développée. Transformer l’expression avant de foncer fait gagner un temps fou.

1. On factorise le numérateur par $x$ : $\dfrac{x^2 + 3x}{x} = \dfrac{x(x + 3)}{x} = x + 3$ (simplification possible car $x \neq 0$).

2. $2 + \dfrac{3}{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{2x + 3}{x}$.

3. On met au même dénominateur $88$ : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{55}{88}$ et $\dfrac{7}{11} = \dfrac{56}{88}$. La différence $\dfrac{5}{8} - \dfrac{7}{11} = -\dfrac{1}{88}$ est négative, donc :

$\frac{5}{8} < \frac{7}{11}$

4. a) $672 - 640 = 32$ : le loyer augmente de $32$ €. b) $\dfrac{672}{640} = 1{,}05$ : le nouveau loyer vaut $1{,}05$ fois l’ancien, soit une hausse de $5\ \%$. Deux lectures du même changement : $+32$ € (variation additive) ou $\times 1{,}05$ (variation multiplicative).

Réflexe à retenir : pour comparer deux nombres, étudie le signe de leur différence ; pour deux quantités positives, leur quotient comparé à $1$ donne directement l’évolution en pourcentage.

1. a) On divise les deux membres par $I$ : $R = \dfrac{U}{I}$. b) $R = \dfrac{12}{0{,}5} = 24$ : la résistance vaut $24$ ohms.

2. a) $t = \dfrac{d}{v}$. b) $t = \dfrac{63}{90} = 0{,}7$ h, soit $0{,}7 \times 60 = 42$ minutes.

3. On divise les deux membres par $\pi r^2$ : $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$. Application :

$h = \frac{500}{\pi \times 5^2} = \frac{500}{25\pi} = \frac{20}{\pi} \approx 6{,}4 \text{ cm}$

La valeur exacte est $\dfrac{20}{\pi}$ cm ; l’arrondi au millimètre, $6{,}4$ cm, est largement assez précis pour une boîte de conserve.

4. On isole le terme en $y$ : $5y = 20 - 2x$, puis on divise par $5$ : $y = \dfrac{20 - 2x}{5} = 4 - 0{,}4x$. (Vérification avec $x = 5$ : $y = 2$, et $2 \times 5 + 5 \times 2 = 20$ ✓.)

Réflexe à retenir : une formule se manipule comme une équation — même opération des deux côtés, jusqu’à isoler la lettre voulue. Et termine toujours par une vérification numérique rapide.