Résumé — Les fonctions de référence

Cinq fonctions reviennent partout, de la 2de à la Terminale : le carré, l’inverse, la racine carrée, le cube et la valeur absolue. Objectif du chapitre : connaître leurs courbes comme des visages familiers, pour comparer et résoudre sans effort.

La galerie de portraits

Fonction	Définie sur	Courbe	Variations	Signe
$x^2$	$\mathbb{R}$	parabole	↘ sur $]-\infty\,;\,0]$ puis ↗ sur $[0\,;\,+\infty[$	toujours $\geqslant 0$
$\dfrac{1}{x}$	$]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$	hyperbole (deux branches)	↘ sur chacun des deux intervalles	du signe de $x$
$\sqrt{x}$	$[0\,;\,+\infty[$	demi-parabole couchée	↗	toujours $\geqslant 0$
$x^3$	$\mathbb{R}$	s’aplatit près de $0$, file ensuite	↗ sur $\mathbb{R}$	du signe de $x$
valeur absolue	$\mathbb{R}$	un V pointé en l’origine	↘ sur $]-\infty\,;\,0]$ puis ↗ sur $[0\,;\,+\infty[$	toujours $\geqslant 0$

La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro : $\lvert 3\rvert = 3$ et $\lvert -3\rvert = 3$. Autrement dit, $\lvert x\rvert = x$ si $x \geqslant 0$ et $\lvert x\rvert = -x$ si $x < 0$. À relier à la racine carrée : $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$.

Carré et valeur absolue partagent la même silhouette : descendre puis monter, avec un minimum $0$ atteint en $0$, et une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées — deux nombres opposés ont le même carré et la même valeur absolue. L’inverse, lui, n’est jamais nul et n’existe pas en $0$.

Résoudre f(x) = k et f(x) < k

Pour les inéquations, laisse la courbe travailler :

• $x^2 < k$ (avec $k > 0$) : $S = \,]-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}[$ — la parabole est sous la droite $y = k$ entre les deux points d’intersection.
• $\lvert x\rvert \leqslant k$ : $S = [-k\,;\,k]$ — les nombres à distance au plus $k$ de zéro.
• $\sqrt{x} = k$ (avec $k \geqslant 0$) : une seule solution, $x = k^2$. Et, pour $k > 0$, $\sqrt{x} < k$ donne $S = [0\,;\,k^2[$ — sans oublier la borne $0$ de l’ensemble de définition !
• $\dfrac{1}{x} = k$ (avec $k \neq 0$) : une seule solution, $x = \dfrac{1}{k}$. L’équation $\dfrac{1}{x} = 0$ n’a aucune solution.
• $x^3 = k$ : toujours une seule solution, car la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ — même pour $k$ négatif ($x^3 = -8$ donne $x = -2$).
• Pour les inéquations avec $\dfrac{1}{x}$ ou $x^3$, appuie-toi sur la courbe (résolution graphique) : c’est la méthode attendue en seconde.

Comparer f(a) et f(b) grâce aux variations

La parabole et la droite y = x

Sur $[0\,;\,+\infty[$, qui est au-dessus : $x$ ou $x^2$ ? Réponse en factorisant la différence : $x^2 - x = x(x - 1)$.

• Sur $[0\,;\,1]$ : $x^2 \leqslant x$ — la parabole est sous la droite. Élever au carré un nombre entre $0$ et $1$ le diminue : $0{,}9^2 = 0{,}81 < 0{,}9$.
• Sur $[1\,;\,+\infty[$ : $x^2 \geqslant x$ — la parabole repasse au-dessus : $1{,}1^2 = 1{,}21 > 1{,}1$.
• Les deux courbes se touchent en $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.

Les pièges classiques