Exercices — Les fonctions de référence

1. Trois cas selon le signe du second membre :

• $x^2 = 25$ : deux solutions, $S = \{-5\,;\,5\}$.
• $x^2 = 10$ : deux solutions, $S = \{-\sqrt{10}\,;\,\sqrt{10}\}$ (valeurs exactes).
• $x^2 = -3$ : un carré n’est jamais strictement négatif, $S = \varnothing$.

2. La parabole est sous la droite $y = 49$ (ou la touche) entre les deux points d’intersection, d’abscisses $-7$ et $7$ : $S = [-7\,;\,7]$.

3. $-5{,}1 < -4{,}9 \leqslant 0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : l’ordre est inversé, donc $(-5{,}1)^2 > (-4{,}9)^2$. (Contrôle : $26{,}01 > 24{,}01$ ✓.)

Réflexe à retenir : $x^2 = k$ avec $k > 0$ a deux solutions, $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ; et sur les négatifs, le carré inverse l’ordre.

1. L’image de $-4$ est $\dfrac{1}{-4} = -0{,}25$ ; l’image de $\dfrac{1}{3}$ est $\dfrac{1}{1/3} = 3$ — prendre l’inverse « retourne » la fraction.

2. $\dfrac{1}{x} = 5 \iff x = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ (vérification : $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ ✓). De même, $\dfrac{1}{x} = -0{,}1 \iff x = \dfrac{1}{-0{,}1} = -10$ (vérification : $\dfrac{1}{-10} = -0{,}1$ ✓).

3. Un quotient est nul seulement si son numérateur est nul ; or le numérateur vaut $1 \neq 0$. Graphiquement, l’hyperbole ne touche jamais l’axe des abscisses : elle s’en approche sans jamais l’atteindre.

4. $0 < 2{,}1 < 2{,}4$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : l’ordre est inversé, donc $\dfrac{1}{2{,}1} > \dfrac{1}{2{,}4}$.

Réflexe à retenir : $\dfrac{1}{x} = k$ (avec $k \neq 0$) a pour unique solution $x = \dfrac{1}{k}$ — et $\dfrac{1}{x}$ ne s’annule jamais.

1. $\sqrt{49} = 7$ ; $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ (car $1{,}5^2 = 2{,}25$) ; et $\sqrt{(-6)^2} = \lvert -6\rvert = 6$ — surtout pas $-6$ : une racine carrée est toujours positive ou nulle.

2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $\sqrt{x} = 6$ a pour unique solution $x = 6^2 = 36$. Pour $\sqrt{x} < 3$ : il faut d’abord que $\sqrt{x}$ existe ($x \geqslant 0$), puis $x < 3^2 = 9$ : $S = [0\,;\,9[$ — n’oublie pas la borne de l’ensemble de définition.

3. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : chaque valeur est atteinte une seule fois. $x^3 = 27$ donne $x = 3$ ($3^3 = 27$), et $x^3 = -1$ donne $x = -1$ ($(-1)^3 = -1$) — le cube, contrairement au carré, atteint aussi les valeurs négatives.

4. $1{,}2 < 1{,}3$ et le cube est croissant : $1{,}2^3 < 1{,}3^3$. (Contrôle : $1{,}728 < 2{,}197$ ✓.)

Réflexe à retenir : racine carrée et cube sont croissantes, elles conservent l’ordre ; et $\sqrt{a^2} = \lvert a\rvert$, jamais $a$ tout court quand $a$ peut être négatif.

1. $\lvert 7\rvert = 7$ ; $\lvert -3{,}5\rvert = 3{,}5$ ; $\lvert 0\rvert = 0$.

2. $\lvert x\rvert = 6$ : les nombres à distance $6$ de zéro sont $6$ et $-6$, donc $S = \{-6\,;\,6\}$. Et $\lvert x\rvert = -2$ : une valeur absolue (une distance) n’est jamais strictement négative, donc $S = \varnothing$.

3. $\lvert x\rvert \leqslant 4 \iff -4 \leqslant x \leqslant 4$, soit $S = [-4\,;\,4]$ : c’est l’ensemble des nombres situés à une distance d’au plus 4 de zéro.

Réflexe à retenir : pense « distance à zéro ». $\lvert x\rvert = k$ (avec $k > 0$) donne toujours les deux solutions $k$ et $-k$, et $\lvert x\rvert \leqslant k$ donne l’intervalle $[-k\,;\,k]$.

1. $x(x - 1) = x^2 - x = h(x)$ ✓. Équation produit nul : $x = 0$ ou $x = 1$. Ce sont les abscisses des points communs à la parabole et à la droite : $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.

2. Tableau de signes du produit :

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

3. Sur $[0\,;\,1]$, $h(x) \leqslant 0$, c’est-à-dire $x^2 \leqslant x$ : la parabole est en dessous de la droite. Sur $[1\,;\,+\infty[$, $x^2 \geqslant x$ : elle repasse au-dessus. Les deux courbes se touchent en $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.

4. $0{,}9$ est entre $0$ et $1$, donc $0{,}9^2 < 0{,}9$ (en effet $0{,}81 < 0{,}9$) ; $1{,}1 > 1$, donc $1{,}1^2 > 1{,}1$ (en effet $1{,}21 > 1{,}1$). Élever au carré ne « grossit » pas toujours !

5. $x^2 < x \iff h(x) < 0$ : lecture directe du tableau, $S = \,]0\,;\,1[$ (bornes exclues, car l’inégalité est stricte).

Réflexe à retenir : pour situer deux courbes l’une par rapport à l’autre, étudie le signe de la différence — le tableau de signes raconte qui est au-dessus, qui est en dessous, et où elles se croisent.