Résumé — Équations, inéquations et tableaux de signes

« À partir de combien de mois cet abonnement devient-il rentable ? » Derrière beaucoup de questions concrètes se cache une équation (trouver les nombres qui réalisent une égalité) ou une inéquation (délimiter la zone où une condition est vraie). Voici la boîte à outils complète.

Résoudre une équation du premier degré

Le principe : faire les mêmes opérations des deux côtés jusqu’à isoler $x$ . Pour $ax + b = cx + d$ , regroupe les $x$ d’un côté, les nombres de l’autre :

$5x + 2 = 3x + 10 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x = 8 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 4$

L’ensemble des solutions se note entre accolades : ici, $S = \{4\}$ .

L’équation x² = a : tout dépend du signe de a

Trois cas à connaître par cœur

$x^2 = a\ :\qquad S = \{-\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}\}\ \text{ si } a > 0 \qquad S = \{0\}\ \text{ si } a = 0 \qquad S = \varnothing\ \text{ si } a < 0$

Un carré n’est jamais strictement négatif : si a est négatif, aucune solution. Si a est strictement positif, il y a DEUX solutions, la racine carrée et son opposée. Exemple : x² = 9 donne x = 3 ou x = −3.

L’équation produit nul : la récompense de la factorisation

Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul

C’est la raison d’être de la factorisation : (x − 1)(2x + 6) = 0 se résout facteur par facteur, x − 1 = 0 ou 2x + 6 = 0, d’où les deux solutions 1 et −3. Réflexe inverse : ne développe jamais un produit égal à zéro !

L’équation quotient et sa valeur interdite

Pour $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$ , commence par la valeur interdite : un dénominateur ne peut pas être nul. L’équation n’a de sens que sur son ensemble de définition (tous les réels sauf les valeurs interdites). Exemple, pour $x \neq 1$ :

$\frac{2x + 3}{x - 1} = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x + 3 = 3(x - 1) \quad\Longleftrightarrow\quad x = 6$

$6$ n’est pas une valeur interdite : la solution est validée, $S = \{6\}$ .

Les inéquations du premier degré

Mêmes règles que pour les équations… à une exception près, LA règle du chapitre :

Multiplier ou diviser par un négatif retourne l’inégalité

2 < 5, mais en multipliant par −1 : −2 > −5. Pour résoudre −3x < 12, on divise donc par −3 en changeant le sens : x > −4. C’est cohérent avec les fonctions affines : x ↦ −3x est décroissante, elle inverse l’ordre.

On peut en revanche ajouter membre à membre deux inégalités de même sens : si $a < b$ et $c < d$ , alors $a + c < b + d$ (utile pour encadrer une somme). Mais on ne soustrait ni ne divise jamais deux inégalités membre à membre !

La solution est en général un intervalle : $-3x < 12 \iff x > -4$ s’écrit $S = \,]-4\,;\,+\infty[$ .

Le tableau de signes

Une expression affine $ax + b$ s’annule en $-\dfrac{b}{a}$ et est du signe de $a$ après ce zéro. Pour un produit ou un quotient : une ligne par facteur, puis la règle des signes, colonne par colonne.

$x$	$x < 1$	$1$	$1 < x < 4$	$4$	$x > 4$
$x - 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x - 1)(x - 4)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Lecture immédiate : $(x - 1)(x - 4) \leqslant 0$ a pour solutions $S = [1\,;\,4]$ . Pour un quotient, même construction, avec une double barre ‖ sous chaque valeur interdite : cette borne est toujours exclue des solutions.

Modéliser un problème par une inéquation

Nomme l’inconnue, exprime chaque grandeur, traduis la comparaison, résous… puis conclus par une phrase dans le contexte. Exemple : un forfait à 20 euros plus 0,05 euro par minute reste sous les 25 euros du forfait concurrent tant que $20 + 0{,}05n < 25$ , c’est-à-dire $n < 100$ minutes.

Les pièges classiques

Trois réflexes qui sauvent des points

1. Ne divise jamais par une expression contenant x : pour x² = 2x, factorise x(x − 2) = 0 (solutions 0 et 2) — diviser par x ferait disparaître la solution 0. 2. Dans x² = a, n’oublie pas la solution négative. 3. Pour un quotient, écris la valeur interdite avant de calculer, et vérifie ta solution à la fin.