Exercices — Équations, inéquations et tableaux de signes

1. $4x = 12$, donc $x = 3$ : $S = \{3\}$.

2. On regroupe les $x$ à gauche, les nombres à droite : $7x - 2x = -10 - 5$, soit $5x = -15$, donc $x = -3$ : $S = \{-3\}$.

3. On développe d’abord : $3x - 6 = x + 8$, donc $2x = 14$ et $x = 7$ : $S = \{7\}$ (vérification : $3 \times (7 - 2) = 3 \times 5 = 15$ et $7 + 8 = 15$ ✓).

4. Deux nombres ont $49$ pour carré : $S = \{-7\,;\,7\}$.

5. $3 > 0$ : deux solutions, $S = \{-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}\}$ — on garde les valeurs exactes, pas d’arrondi.

6. Un carré n’est jamais strictement négatif : $S = \varnothing$.

Réflexe à retenir : une équation se résout en faisant les mêmes opérations des deux côtés ; et pour $x^2 = a$, regarde d’abord le signe de $a$ — deux solutions, une seule ou aucune.

1. Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul :

$3x - 6 = 0 \iff x = 2 \qquad \text{ou} \qquad x + 4 = 0 \iff x = -4$

Donc $S = \{-4\,;\,2\}$.

2. $3x - 6$ est du signe de $3$ (positif) après son zéro $2$ ; $x + 4$ est du signe de $1$ (positif) après son zéro $-4$. La règle des signes donne la dernière ligne :

$x$	$x < -4$	$-4$	$-4 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$3x - 6$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x + 4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$P(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

3. On lit la dernière ligne : $P(x) > 0$ pour $S = \,]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$ (bornes exclues, car l’inégalité est stricte).

Réflexe à retenir : face à un produit, ne développe pas ! Le tableau de signes se construit facteur par facteur, puis la règle des signes conclut.

1. $2x \leqslant 8$, donc $x \leqslant 4$ : $S = \,]-\infty\,;\,4]$.

2. $-3x < 15$. On divise par $-3$, qui est négatif : le sens change. $x > -5$, donc $S = \,]-5\,;\,+\infty[$. (Contrôle avec $x = 0$ : $-3 \times 0 + 5 = 5 < 20$ ✓, et $0$ est bien dans $S$.)

3. On regroupe : $4x - 6x \geqslant 7 + 1$, soit $-2x \geqslant 8$. Division par $-2$, le sens change : $x \leqslant -4$, donc $S = \,]-\infty\,;\,-4]$. (Contrôle avec $x = -5$ : $4 \times (-5) - 1 = -21$ et $6 \times (-5) + 7 = -23$ ; on a bien $-21 \geqslant -23$ ✓.)

Réflexe à retenir : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif retourne son sens — et un contrôle avec une valeur simple confirme ta réponse en dix secondes.

1. Le dénominateur ne doit pas s’annuler : $x - 1 \neq 0$, donc $x \neq 1$. L’ensemble de définition est $]-\infty\,;\,1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$.

2. Pour $x \neq 1$, on multiplie les deux membres par $x - 1$ :

$2x + 3 = 3(x - 1) \iff 2x + 3 = 3x - 3 \iff x = 6$

$6$ n’est pas la valeur interdite, donc $S = \{6\}$. (Vérification : $\dfrac{2 \times 6 + 3}{6 - 1} = \dfrac{15}{5} = 3$ ✓.)

3. $2x + 3$ s’annule en $-1{,}5$ et $x - 1$ s’annule en $1$, la valeur interdite (notée ‖) :

$x$	$x < -1{,}5$	$-1{,}5$	$-1{,}5 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$2x + 3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$Q(x)$	$+$	$0$	$-$	‖	$+$

4. $Q(x) \geqslant 0$ pour $S = \,]-\infty\,;\,-1{,}5]\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$ : la borne $-1{,}5$ est incluse (le quotient y vaut $0$), mais $1$ est exclu (valeur interdite), même avec une inégalité large.

Réflexe à retenir : pour un quotient, écris la valeur interdite avant tout calcul — elle est exclue des solutions dans tous les cas, équation comme inéquation.

1. $T(n) = 40 + 25n$ et $Z(n) = 34n$.

2. « Tonic strictement moins chère » se traduit par l’inéquation :

$40 + 25n < 34n \iff 40 < 34n - 25n \iff 40 < 9n \iff n > \frac{40}{9}$

3. $\dfrac{40}{9} \approx 4{,}44$ : le premier entier qui convient est $n = 5$. Tonic devient la plus avantageuse à partir de 5 mois. Vérification : pour $n = 4$, $T(4) = 140$ euros et $Z(4) = 136$ euros (Zen gagne) ; pour $n = 5$, $T(5) = 165$ euros et $Z(5) = 170$ euros (Tonic gagne) ✓.

4. Il faudrait $40 + 25n = 34n$, soit $n = \dfrac{40}{9}$, qui n’est pas un nombre entier de mois : les deux salles n’affichent jamais exactement le même prix.

Réflexe à retenir : pour modéliser, nomme l’inconnue, exprime chaque coût, traduis la comparaison en inéquation… et conclus par une phrase avec un nombre entier qui a du sens dans le contexte.