Résumé — Les équations de droites — Les Génies des Sciences

Pour ton GPS ou un jeu vidéo, une droite n’est pas un trait : c’est une équation. L’idée géniale de Descartes : un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la droite exactement quand ses coordonnées vérifient l’équation. D’un coup, la géométrie devient du calcul — et ce chapitre est la boite à outils pour passer d’un monde à l’autre.

Le vecteur directeur

Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul dont la direction est celle de $d$ . Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$ , alors $\overrightarrow{AB}$ convient — et tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires entre eux.

L’équation cartésienne

Équation cartésienne et vecteur directeur

$ax + by + c = 0 \qquad \text{vecteur directeur : } \vec{u}\,(-b\,;\,a)$

Avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Retiens la gymnastique : on échange a et b, et on change un seul signe. Une droite a une infinité d’équations cartésiennes : en multipliant tout par 2, l’équation change, la droite non.

Exemple : $d : 2x - 3y + 6 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\,(3\,;\,2)$ . Le point $(0\,;\,2)$ est sur $d$ car $2 \times 0 - 3 \times 2 + 6 = 0$ ; le point $(1\,;\,1)$ n’y est pas car $2 - 3 + 6 = 5 \neq 0$ .

L’équation réduite et la pente

Droite non verticale : elle admet une unique équation réduite $y = mx + p$ , où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $p$ l’ordonnée à l’origine — la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$ .
Droite verticale : équation de la forme $x = c$ . Pas d’équation réduite, pas de pente.
Pour passer de cartésienne à réduite : on isole $y$ (possible dès que $b \neq 0$ ). Exemple : $2x - 3y + 6 = 0$ devient $y = \dfrac{2}{3}x + 2$ .

La pente à partir de deux points

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

A et B sont deux points quelconques de la droite (non verticale). La pente dit ce que gagne y quand x augmente de 1 : m = 2, ça grimpe ; m = −0,5, ça descend doucement ; m = 0, c’est horizontal.

Bonus bien pratique : la droite d’équation $y = mx + p$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;\,m)$ — « un pas à droite, $m$ vers le haut ».

Trouver l’équation d’une droite

Trois données possibles, trois points de départ

Deux points : calcule la pente $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , puis trouve $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées d’un des points. Un point et la pente : écris $y = mx + p$ , il ne manque que $p$ . Un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ : $M(x\,;\,y)$ est sur la droite exactement quand $\det(\overrightarrow{AM}\,;\,\vec{u}) = 0$ — le calcul donne directement une équation cartésienne.

Exemple avec $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$ : $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ , puis $2 = 3 \times 1 + p$ donne $p = -1$ : l’équation réduite est $y = 3x - 1$ . Contrôle avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$ ✓.

Tracer, aligner, couper

Tracer une droite : deux points suffisent. Depuis $y = mx + p$ : place $(0\,;\,p)$ , puis avance de $1$ vers la droite et monte de $m$ (descends si $m < 0$ ). Depuis une équation cartésienne : calcule les points avec $x = 0$ puis $y = 0$ .
Trois points alignés ? Détermine l’équation de $(AB)$ , puis teste si les coordonnées de $C$ la vérifient.
Parallèles ou sécantes ? Avec les équations réduites : parallèles si, et seulement si, même pente (et confondues si même $p$ en plus). Sinon, sécantes.
Point d’intersection de deux droites sécantes $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : résous $mx + p = m'x + p'$ pour trouver $x$ , puis calcule $y$ avec l’une des deux équations. Exemple : $y = 2x - 3$ et $y = -x + 6$ : de $2x - 3 = -x + 6$ on tire $3x = 9$ , donc $x = 3$ puis $y = 3$ : elles se coupent en $(3\,;\,3)$ .

Les pièges classiques

Vertical = cas à part

Une droite verticale n’a ni pente ni équation réduite : avant d’isoler $y$ dans $ax + by + c = 0$ , vérifie que $b \neq 0$ . Dans la formule de la pente, les ordonnées sont en haut — et prends $A$ et $B$ dans le même ordre en haut et en bas. Le vecteur directeur lu sur une équation cartésienne est $(-b\,;\,a)$ : échange et un seul changement de signe. Enfin, même pente ne veut pas dire même droite : $y = 2x + 1$ et $y = 2x - 4$ sont parallèles, jamais sécantes.