Exercices corrigés — Les équations de droites

1. L’équation est déjà réduite : pente $m = 2$, ordonnée à l’origine $p = -5$ (la droite coupe l’axe des ordonnées en $(0\,;\,-5)$).

2. Pour $ax + by + c = 0$ avec $a = 4$ et $b = -2$, un vecteur directeur est $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$, soit $\vec{u}\,(2\,;\,4)$. Équation réduite : on isole $y$ dans $4x - 2y + 6 = 0$ :

$-2y = -4x - 6 \iff y = 2x + 3$

3. $d_3$ est verticale : tous ses points ont pour abscisse $3$. Pas de pente, pas d’équation réduite ; un vecteur directeur est $(0\,;\,1)$. $d_4$ est horizontale : pente $0$, ordonnée à l’origine $-4$, vecteur directeur $(1\,;\,0)$.

4. $d_1$ et $d_2$ ont la même pente $2$ : elles sont parallèles. Leurs ordonnées à l’origine diffèrent ($-5 \neq 3$) : elles sont strictement parallèles.

Réflexe à retenir : mets l’équation sous forme réduite pour lire la pente d’un coup d’œil — mais repère les droites verticales ($b = 0$) AVANT de diviser par $b$.

1. La droite n’est pas verticale ($x_A \neq x_B$), donc :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$

2. L’équation est de la forme $y = -3x + p$. Le point $A(-1\,;\,4)$ est sur la droite, donc ses coordonnées vérifient l’équation :

$4 = -3 \times (-1) + p \iff 4 = 3 + p \iff p = 1$

L’équation réduite de $(AB)$ est $y = -3x + 1$. Contrôle avec $B$ : $-3 \times 2 + 1 = -5$ ✓.

3. On teste les coordonnées de $C$ : $-3 \times (-2) + 1 = 6 + 1 = 7$, qui est bien l’ordonnée de $C$. Donc $C$ appartient à $(AB)$ — autrement dit, $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Réflexe à retenir : toujours le même trio — la pente d’abord, puis $p$ en injectant un point, et une vérification avec le deuxième point pour finir.

1. $M$ est sur $d$ exactement quand $\overrightarrow{AM}$ a la même direction que la droite, c’est-à-dire quand $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires — ce qui se traduit par $\det(\overrightarrow{AM}\,;\,\vec{u}) = 0$.

2. $\overrightarrow{AM}\,(x - 2\,;\,y - 1)$, donc :

$\det(\overrightarrow{AM}\,;\,\vec{u}) = (x - 2) \times (-2) - (y - 1) \times 3 = -2x + 4 - 3y + 3 = -2x - 3y + 7$

L’équation $-2x - 3y + 7 = 0$ convient ; en multipliant par $-1$ :

$2x + 3y - 7 = 0$

3. Sur $2x + 3y - 7 = 0$, on lit le vecteur directeur $(-b\,;\,a) = (-3\,;\,2)$. Or $(-3\,;\,2) = -1 \times (3\,;\,-2)$ : il est bien colinéaire à $\vec{u}$ ✓. Et $A(2\,;\,1)$ vérifie l’équation : $2 \times 2 + 3 \times 1 - 7 = 0$ ✓.

4. $2 \times 5 + 3 \times (-1) - 7 = 10 - 3 - 7 = 0$ : oui, $E$ appartient à $d$. (Ce n’est pas un hasard : $E$ s’obtient en partant de $A$ et en suivant $\vec{u}$ une fois.)

Réflexe à retenir : « $M$ sur la droite ⟺ $\overrightarrow{AM}$ colinéaire à $\vec{u}$ ⟺ $\det(\overrightarrow{AM}\,;\,\vec{u}) = 0$ » : c’est LA méthode qui fabrique une équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur directeur.

1. Pour $x = 0$ : $y = 4$, d’où le point $(0\,;\,4)$. Pour $x = 2$ : $y = -2 \times 2 + 4 = 0$, d’où le point $(2\,;\,0)$. On place ces deux points et on trace la droite qui les relie. (Variante avec la pente : depuis $(0\,;\,4)$, un pas à droite, deux vers le bas, car $m = -2$.)

2. On teste chaque point dans l’équation : $R$ : $-2 \times (-1) + 4 = 6$ ✓ ; $S$ : $-2 \times 1 + 4 = 2$ ✓ ; $T$ : $-2 \times 3 + 4 = -2$ ✓. Les trois points appartiennent à la même droite $d$ : ils sont donc alignés.

3. $\overrightarrow{RS}\,(1 - (-1)\,;\,2 - 6)$, soit $\overrightarrow{RS}\,(2\,;\,-4)$, et $\overrightarrow{RT}\,(3 - (-1)\,;\,-2 - 6)$, soit $\overrightarrow{RT}\,(4\,;\,-8)$.

$\det\left(\overrightarrow{RS}\,;\,\overrightarrow{RT}\right) = 2 \times (-8) - (-4) \times 4 = -16 + 16 = 0$

Les vecteurs sont colinéaires : on retrouve bien l’alignement de $R$, $S$ et $T$.

Réflexe à retenir : pour un alignement, tu as deux armes — tester les points dans une équation de droite, ou calculer un déterminant. Choisis la plus rapide selon l’énoncé… et sers-toi de l’autre comme vérification.

1. On isole $y$ dans $4x - 2y + 10 = 0$ :

$-2y = -4x - 10 \iff y = 2x + 5$

2. $d_1$ et $d_3$ ont la même pente $2$ : elles sont parallèles. Leurs ordonnées à l’origine sont différentes ($-3 \neq 5$) : strictement parallèles, aucun point commun.

3. Les pentes de $d_1$ et $d_2$ sont différentes ($2 \neq -1$) : les droites sont sécantes. À l’intersection, les deux expressions de $y$ sont égales :

$2x - 3 = -x + 6 \iff 3x = 9 \iff x = 3$

Puis $y = 2 \times 3 - 3 = 3$. Donc $I(3\,;\,3)$. Vérification dans $d_2$ : $-3 + 6 = 3$ ✓.

4. Il suffit de tester si $I$ appartient à $d_3$ : $4 \times 3 - 2 \times 3 + 10 = 16 \neq 0$, donc non. On pouvait le prévoir sans calcul : $d_3$ est strictement parallèle à $d_1$, elle ne passe par aucun point de $d_1$ — donc sûrement pas par $I$. Les trois droites ne sont pas concourantes.

Réflexe à retenir : compare d’abord les pentes (parallèles ou sécantes ?) ; si sécantes, égalise les deux expressions de $y$ ; et vérifie toujours le point trouvé dans les deux équations.