Résumé — Les ensembles de nombres et les intervalles

Entre le 7 qui compte les jours, le −3 des températures d’hiver, le tiers d’un gâteau et le π des cercles, tous les nombres ne se ressemblent pas. Les mathématiciens les rangent en familles emboîtées — et pour décrire des paquets de nombres sur la droite, ils ont inventé les intervalles.

La famille des nombres : cinq ensembles emboîtés

Chaque ensemble contient le précédent

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Entiers naturels (0, 1, 2…), entiers relatifs (−3…), décimaux (2,45), rationnels (1/3), réels (√2, π). Le symbole ⊂ se lit « est inclus dans ».

𝔻, les décimaux : les nombres dont l’écriture à virgule s’arrête. $2{,}45 = \dfrac{245}{100}$ en fait partie ; $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n’en fait pas partie, car ses décimales ne s’arrêtent jamais.
ℚ, les rationnels : tous les quotients d’entiers, comme $\dfrac{1}{3}$ ou $-\dfrac{7}{4}$ .
ℝ, les réels : tous les nombres de la droite graduée. Certains n’appartiennent à aucune famille précédente : $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels — aucune fraction d’entiers ne les vaut exactement.

Attention aux déguisements

Avant de classer un nombre, simplifie-le : $\dfrac{15}{5} = 3$ est un entier naturel, pas juste « une fraction ». Le bon réflexe : chercher le plus petit ensemble qui contient le nombre.

La droite numérique et les intervalles

Chaque réel est l’abscisse d’un point d’une droite graduée. Un intervalle regroupe tous les réels compris entre deux bornes :

$[2\,;\,5]$ : les réels $x$ tels que $2 \leqslant x \leqslant 5$ (bornes comprises) ;
$]2\,;\,5[$ : mêmes bornes, mais exclues ;
$[2\,;\,+\infty[$ : tous les réels $x \geqslant 2$ ;
$]-\infty\,;\,5]$ : tous les réels $x \leqslant 5$ .

Crochet fermé (tourné vers l’intérieur) = borne comprise. L’infini n’est pas un nombre : de son côté, le crochet est toujours ouvert.

Les symboles pour parler des ensembles

$\in$ : « appartient à » — relie un élément à un ensemble : $7 \in \mathbb{N}$ , $\pi \in [3\,;\,4]$ .
$\subset$ : « est inclus dans » — relie deux ensembles : $[2\,;\,3] \subset [0\,;\,10]$ .
$\cap$ : l’intersection, ce qui est commun aux deux : $[1\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]$ .
$\cup$ : la réunion, tout ce qui est dans l’un ou l’autre : $[1\,;\,5] \cup [3\,;\,8] = [1\,;\,8]$ .
$\bar{A}$ (ou $E \setminus A$ ) : le complémentaire de $A$ dans $E$ — tout ce qui est dans $E$ mais pas dans $A$ .
$\text{Card}(A)$ : le nombre d’éléments d’un ensemble fini $A$ (tu le recroiseras en probabilités).

Deux intervalles sans aucun nombre commun ont pour intersection l’ensemble vide, noté $\varnothing$ . Un couple $(a\,;\,b)$ est une paire ordonnée — exactement ce que tu utilises déjà pour les coordonnées d’un point.

La valeur absolue : une histoire de distance

$|a|$ est la distance de $a$ à 0 sur la droite numérique : $|-3| = 3$ et $|3| = 3$ . Plus généralement, $|x - y|$ est la distance entre $x$ et $y$ .

Lire |x − a| ⩽ r comme une distance

$|x - a| \leqslant r \quad \Longleftrightarrow \quad x \in [a - r\,;\,a + r]$

« x est à une distance d’au plus r du nombre a » : les solutions forment l’intervalle de centre a et de rayon r. Exemple : |x − 5| ⩽ 2 donne [3 ; 7].

Encadrer et arrondir

Un réel qui n’est pas décimal se manipule grâce à des encadrements décimaux. À $10^{-2}$ près (amplitude $0{,}01$ ) :

$3{,}14 \leqslant \pi \leqslant 3{,}15 \qquad\qquad 1{,}41 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 1{,}42$

Ta calculatrice affiche des valeurs approchées : $1{,}414213562$ n’est pas $\sqrt{2}$ , c’est un arrondi. Dans un problème concret, garde un nombre de chiffres significatifs adapté : annoncer un terrain de $4{,}472135955$ m de côté n’a aucun sens — $4{,}47$ m suffit largement.

Un peu de logique

Une implication (« si A alors B ») a une réciproque (« si B alors A ») qui peut être fausse, et une contraposée (« si non-B alors non-A ») qui est toujours aussi vraie qu’elle.
Pour montrer qu’une proposition est fausse, un seul contre-exemple suffit.
La négation de « $x \geqslant 2$ » est « $x < 2$ » (et non « $x \leqslant 2$ »).

La démonstration culte : √2 est irrationnel

On raisonne par l’absurde : si $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ (fraction irréductible), alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair : $p = 2k$ . En remplaçant : $q^2 = 2k^2$ , donc $q$ est pair aussi… contradiction, la fraction était irréductible ! Conclusion : $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction.

Les pièges classiques

Les confusions qui coûtent des points

$7 \in \mathbb{N}$ mais $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ : ∈ pour un élément, ⊂ entre deux ensembles. Dans $[3\,;\,7[$ , le 3 est dedans, le 7 est dehors — vérifie chaque crochet un par un. Et $\dfrac{1}{3}$ n’est pas égal à $0{,}33$ , ni à l’affichage de ta calculatrice : ce ne sont que des valeurs approchées.