Exercices — Les ensembles de nombres et les intervalles

1. On simplifie d’abord ce qui peut l’être : $\dfrac{15}{5} = 3$.

• $-8 \in \mathbb{Z}$ : un entier négatif ;
• $2{,}7 \in \mathbb{D}$ : son écriture à virgule s’arrête ($2{,}7 = \dfrac{27}{10}$) ;
• $\dfrac{15}{5} = 3 \in \mathbb{N}$ : un entier naturel déguisé en fraction ;
• $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ : un quotient d’entiers, mais pas un décimal (voir question 3) ;
• $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ et $\pi \in \mathbb{R}$ : des irrationnels, dans aucun ensemble plus petit ;
• $0 \in \mathbb{N}$ : le plus petit des entiers naturels.

2. a) Vrai : $-8 = -8{,}0$, l’écriture à virgule s’arrête. b) Vrai : un décimal est toujours un quotient d’entiers, comme $2{,}45 = \dfrac{245}{100}$. c) Faux : $\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être décimal — les inclusions ne se lisent que dans un sens !

3. Supposons qu’une écriture décimale finie vaille $\dfrac{1}{3}$, par exemple $0{,}333\ldots3$ avec un dernier $3$ quelque part. En la multipliant par $3$, on obtiendrait $0{,}999\ldots9$, qui n’est pas égal à $1$. Or $3 \times \dfrac{1}{3} = 1$ : contradiction. Aucune écriture décimale finie ne peut valoir $\dfrac{1}{3}$, donc $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.

Réflexe à retenir : avant de classer un nombre, mets-le sous sa forme la plus simple, puis pose-toi les questions dans l’ordre : entier ? écriture à virgule qui s’arrête ? quotient d’entiers ?

1. a) $[-2\,;\,5]$ ; b) $]3\,;\,+\infty[$ ; c) $]-\infty\,;\,1]$ ; d) $]0\,;\,4]$. Crochet fermé quand la borne est comprise ($\leqslant$ ou $\geqslant$), ouvert quand elle est exclue — et toujours ouvert du côté de l’infini.

2. a) $-1 \leqslant x < 2$ ; b) $x < 6$.

3. a) Oui : le crochet est fermé en $3$, la borne est comprise. b) Non : ouvert en $7$, la borne est exclue. c) Non : ouvert en $-2$. d) Oui : $3 \leqslant 3{,}1415\ldots \leqslant 4$.

Réflexe à retenir : lis chaque crochet comme une porte — fermée, le nombre de la borne est dedans ; ouverte, il reste dehors. L’infini n’étant pas un nombre, sa porte est toujours ouverte.

1. Sur la droite, on colorie $[-1\,;\,4]$ puis $[2\,;\,6]$. La zone commune va de $2$ à $4$, la zone couverte au moins une fois va de $-1$ à $6$ :

$[-1\,;\,4] \cap [2\,;\,6] = [2\,;\,4] \qquad\qquad [-1\,;\,4] \cup [2\,;\,6] = [-1\,;\,6]$

2. On garde les nombres à la fois inférieurs ou égaux à $3$ et positifs ou nuls : $]-\infty\,;\,3] \cap [0\,;\,+\infty[\ = [0\,;\,3]$.

3. Aucun nombre n’appartient aux deux intervalles à la fois : l’intersection est l’ensemble vide, $[0\,;\,2] \cap [5\,;\,8] = \varnothing$. (Leur réunion, elle, ne forme pas un seul intervalle : il reste un « trou » entre $2$ et $5$.)

4. a) Vrai : tout nombre entre $2$ et $3$ est bien entre $0$ et $10$. b) Faux : $12 > 10$. c) Faux : $7 \in [0\,;\,10]$ mais $7 \notin [2\,;\,3]$ — l’inclusion ne se retourne pas.

Réflexe à retenir : ∩ = zone coloriée deux fois, ∪ = zone coloriée au moins une fois. Un dessin de la droite graduée vaut mieux qu’un long raisonnement.

1. $|7| = 7$, $|-3| = 3$ et $|0| = 0$ : à chaque fois, la distance à 0 sur la droite numérique.

2. Distance entre $-4$ et $6$ : $|6 - (-4)| = |10| = 10$. Distance entre $2{,}5$ et $7$ : $|7 - 2{,}5| = 4{,}5$.

3. $|x - 5| \leqslant 2$ se lit : « $x$ est à une distance d’au plus $2$ du nombre $5$ ». Les solutions vont donc de $5 - 2 = 3$ à $5 + 2 = 7$ :

$S = [3\,;\,7]$

4. Le centre de $[1\,;\,9]$ est $\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ et son rayon est $\dfrac{9 - 1}{2} = 4$ : l’intervalle s’écrit $|x - 5| \leqslant 4$.

Réflexe à retenir : traduis toujours $|x - a|$ par « la distance entre $x$ et $a$ » — l’inéquation se résout alors en dessinant la droite, sans aucun calcul compliqué.

1. Chaque part mesure exactement $\dfrac{10}{3}$ m. Ce n’est pas un décimal : son écriture $3{,}3333\ldots$ ne s’arrête jamais (si elle s’arrêtait, en multipliant par $3$ on obtiendrait $9{,}999\ldots9$ et non $10$).

2. Les trois encadrements demandés :

$3{,}3 \leqslant \frac{10}{3} \leqslant 3{,}4 \qquad 3{,}33 \leqslant \frac{10}{3} \leqslant 3{,}34 \qquad 3{,}333 \leqslant \frac{10}{3} \leqslant 3{,}334$

Leurs amplitudes valent $0{,}1$, puis $0{,}01$, puis $0{,}001$.

3. Non : c’est une valeur approchée. L’écriture décimale de $\dfrac{10}{3}$ ne s’arrête jamais, alors que l’écran, lui, s’arrête — la calculatrice arrondit.

4. Au centimètre près : $3{,}33$ m. Donner davantage de décimales n’aurait aucun sens pratique : personne ne coupe un ruban au dixième de millimètre. C’est cela, choisir un nombre de chiffres significatifs adapté à la situation.

Réflexe à retenir : distingue toujours la valeur exacte (une fraction, une racine…) de ses valeurs approchées. En contrôle, donne d’abord la valeur exacte, puis l’arrondi demandé par l’énoncé.