Résumé — Suites arithmétiques et suites géométriques

Gagner 500 abonnés chaque mois, ou augmenter de 5 % chaque mois : deux façons de grandir qui n’ont rien à voir. La première ajoute toujours le même nombre, la seconde multiplie toujours par le même facteur. Ce sont les deux familles de suites à connaitre par cœur : les suites arithmétiques (croissance linéaire) et les suites géométriques (croissance exponentielle) — les modèles de base de l’épargne, des populations, des audiences…

Suites arithmétiques : on ajoute toujours le même nombre

La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ lorsque, pour tout $n$ , $u_{n+1} = u_n + r$ . Test pratique : la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante.

Terme général d’une suite arithmétique

$u_n = u_0 + nr \qquad \text{et plus généralement} \qquad u_n = u_p + (n - p)r$

Pour aller du terme d’indice 0 au terme d’indice n, on ajoute la raison r exactement n fois. Démonstration guidée : u1 = u0 + r, puis u2 = u0 + 2r… chaque étape empile un r de plus — au bout de n étapes, on en a ajouté n.

Lien avec les fonctions affines : $u_n = rn + u_0$ , c’est la fonction affine $x \mapsto rx + u_0$ calculée aux entiers. Les points $(n\,;\,u_n)$ sont alignés : accroissement constant = croissance linéaire.
Sens de variation : croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ . Tout se lit sur la raison.

Suites géométriques : on multiplie toujours par le même nombre

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ lorsque, pour tout $n$ , $v_{n+1} = q \times v_n$ . C’est le modèle des évolutions à taux constant : augmenter de 5 % à chaque étape, c’est multiplier à chaque étape par $1{,}05$ .

Terme général d’une suite géométrique

$v_n = v_0 \times q^n \qquad \text{et plus généralement} \qquad v_n = v_p \times q^{n-p}$

Pour aller du terme d’indice 0 au terme d’indice n, on multiplie par q exactement n fois. Même démonstration guidée que pour les arithmétiques : v1 = v0 × q, puis v2 = v0 × q²… chaque étape apporte un facteur q de plus.

Lien avec la fonction exponentielle : pour $q > 0$ , les points $(n\,;\,v_n)$ se placent sur la courbe de $x \mapsto v_0 \times q^x$ , une courbe de type exponentiel : c’est la croissance (ou la décroissance) exponentielle.
Sens de variation (pour $v_0 > 0$ ) : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ , constante si $q = 1$ . Si $q < 0$ , les termes changent de signe à chaque étape : ni croissante ni décroissante.

Les deux sommes à connaitre

Les sommes de référence

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \qquad\qquad 1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)$

Deux démonstrations classiques à connaitre : la première en écrivant la somme à l’endroit puis à l’envers, la seconde en calculant S − qS.

Démonstration (méthode de Gauss) : note $S = 1 + 2 + \dots + n$ et écris la même somme à l’envers, $S = n + (n-1) + \dots + 1$ . En additionnant colonne par colonne, chaque paire vaut $n + 1$ , et il y a $n$ colonnes : $2S = n(n+1)$ .
Démonstration (télescopage) : note $S = 1 + q + \dots + q^n$ . Alors $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ , et dans $S - qS$ presque tout s’annule : $S - qS = 1 - q^{n+1}$ , soit $(1-q)S = 1 - q^{n+1}$ ; on divise par $1 - q$ , ce qui est possible car $q \neq 1$ .
Sommes de termes consécutifs : arithmétique → $\text{somme} = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ ; géométrique → $\text{somme} = \text{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

Compte les termes avant de sommer

De $u_0$ à $u_n$ , il y a $n + 1$ termes (pas $n$ !) ; de $u_3$ à $u_{10}$ , il y en a $8$ . Dans $1 + q + \dots + q^n$ , l’exposant $n + 1$ de la formule est exactement le nombre de termes de la somme. Compter les termes en premier, c’est éviter la grande majorité des erreurs de sommes.

Linéaire ou exponentiel ? Bien choisir son modèle

Un phénomène qui gagne (ou perd) le même nombre à chaque étape se modélise par une suite arithmétique : croissance linéaire, points alignés.
Un phénomène qui évolue du même pourcentage à chaque étape se modélise par une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ : croissance exponentielle.
À long terme, une croissance exponentielle de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire — même si celle-ci part beaucoup plus vite.

Les pièges classiques

Raison, pourcentages et comptage de pas

Augmenter de 5 %, c’est multiplier par $1{,}05$ — pas par $0{,}05$ (et diminuer de 5 %, c’est multiplier par $0{,}95$ ). Si la suite commence à $u_1$ , le terme général devient $u_n = u_1 + (n-1)r$ ou $v_n = v_1 \times q^{n-1}$ : compte les pas, pas les termes. Enfin, une suite peut n’être ni arithmétique ni géométrique (comme $u_n = n^2$ ) : vérifie la différence ou le quotient sur plusieurs paires de termes consécutifs avant de conclure.