Exercices — Suites arithmétiques et suites géométriques

1. $u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 7 - (4n - 7) = 4$ : la différence est constante. La suite est arithmétique de raison $r = 4$ et de premier terme $u_0 = -7$.

2. Tous les termes sont non nuls et $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2$ : le quotient est constant. La suite est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 5$.

3. $w_1 - w_0 = 1$ mais $w_2 - w_1 = 3$ : la différence n’est pas constante, la suite n’est pas arithmétique. Et $\dfrac{w_2}{w_1} = 4$ mais $\dfrac{w_3}{w_2} = \dfrac{9}{4}$ : pas géométrique non plus. Ni l’un ni l’autre.

4. $90 - 100 = -10$ mais $81 - 90 = -9$ : pas arithmétique. En revanche $\dfrac{90}{100} = \dfrac{81}{90} = \dfrac{72{,}9}{81} = 0{,}9$ : ces valeurs sont compatibles avec une suite géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $100$ — chaque terme perd 10 %.

Réflexe à retenir : teste la différence (constante → arithmétique) puis le quotient (constant → géométrique), sur plusieurs paires de termes consécutifs — deux termes ne suffisent jamais à conclure.

1. $u_1 = 100 - 3 = 97$ et $u_2 = 97 - 3 = 94$. Terme général : $u_n = u_0 + nr = 100 - 3n$.

2. $u_{25} = 100 - 3 \times 25 = 100 - 75 = 25$.

3. On résout $100 - 3n = 13$, soit $3n = 87$, donc $n = 29$. C’est un entier naturel : oui, $13 = u_{29}$ est un terme de la suite. (Si la solution n’avait pas été un nombre entier, la réponse aurait été non.)

4. On résout l’inéquation $100 - 3n < 0$, soit $n > \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3$. Le premier entier qui convient est $n = 34$ : à partir du rang $34$, les termes sont négatifs. Vérification : $u_{33} = 100 - 99 = 1 > 0$ et $u_{34} = 100 - 102 = -2 < 0$ ✓.

Réflexe à retenir : le terme général $u_n = u_0 + nr$ transforme les questions sur la suite en équations et inéquations — et pour un seuil, conclus toujours en encadrant : le terme juste avant est encore au-dessus, le terme trouvé est en dessous. C’est la vérification qui rapporte des points.

1. Chaque terme est la moitié du précédent : $v_1 = 320$, $v_2 = 160$ et $v_3 = 80$. Terme général : $v_n = v_0 \times q^n = 640 \times 0{,}5^n$.

2. $v_6 = 640 \times 0{,}5^6 = \dfrac{640}{64} = 10$.

3. Tous les termes sont strictement positifs et $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 0{,}5 < 1$ : la suite est strictement décroissante. (Règle générale : premier terme strictement positif et $0 < q < 1$ → suite décroissante.)

4. On balaie avec la table de la calculatrice : $v_9 = 640 \times 0{,}5^9 = \dfrac{640}{512} = 1{,}25 > 1$ et $v_{10} = \dfrac{640}{1024} = 0{,}625 < 1$. Le plus petit rang cherché est donc $n = 10$.

Réflexe à retenir : pour une question de seuil avec une suite géométrique, la méthode de première est le balayage : table de la calculatrice ou tableur, puis encadrement du seuil entre deux termes consécutifs.

1. Formule de référence $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 60$ :

$S = \frac{60 \times 61}{2} = 30 \times 61 = 1830$

2. La somme compte $21$ termes (de l’indice $0$ à l’indice $20$), avec $u_0 = 5$ et $u_{20} = 5 + 60 = 65$. Pour une suite arithmétique :

$T = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 = 735$

3. On reconnait $1 + q + \dots + q^n$ avec $q = 2$ et $n = 10$ :

$S' = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{-1} = 2047$

4. On factorise par le premier terme :

$T' = 3 \times \left(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^5\right) = 3 \times \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 3 \times 63 = 189$

Réflexe à retenir : avant toute somme, compte les termes (de l’indice $0$ à l’indice $n$, il y en a $n + 1$). Arithmétique → nombre de termes × moyenne du premier et du dernier ; géométrique → premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

1. La chaine A ajoute chaque mois le même nombre d’abonnés : $(a_n)$ est arithmétique de raison $r = 500$. La chaine B multiplie chaque mois son nombre d’abonnés par le même coefficient $1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2$ : $(b_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}2$.

2. $a_n = 2000 + 500n$ et $b_n = 2000 \times 1{,}2^n$.

3. Au bout de $3$ mois : $a_3 = 2000 + 1500 = 3500$ et $b_3 = 2000 \times 1{,}2^3 = 2000 \times 1{,}728 = 3456$ : la chaine A est en tête. Au bout de $6$ mois : $a_6 = 2000 + 3000 = 5000$ et $b_6 = 2000 \times 1{,}2^6 \approx 5972$ : la chaine B est passée devant.

4. On balaie à la calculatrice : $a_3 = 3500 > b_3 = 3456$, mais $a_4 = 4000$ et $b_4 = 2000 \times 1{,}2^4 \approx 4147$ : la chaine B dépasse la chaine A au bout de $4$ mois. Oui, c’était inévitable : une croissance exponentielle de raison $q > 1$ finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire, quel que soit le rythme de celle-ci.

Réflexe à retenir : « toujours le même nombre en plus » → suite arithmétique ; « toujours le même pourcentage » → suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$. Et à long terme, l’exponentielle gagne toujours contre la droite.